[论文解读] Local Friedel sum rule on graphs

Christophe Texier, Μ. Büttiker|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Nov 25, 2002

Graph theory and applications被引用 5

一句话总结

本文为具有在一维导线连接于节点的量子图建立了局域弗里德尔求和规则，将散射矩阵性质与局域态密度（LDoS）联系起来，包括连续（散射）和离散（局域）谱分量。通过在关注点引入一个辅助导线并分析零透射极限，作者推导出注入性、发射性和部分LDoS之间的关系，表明离散部分源于由于对称性而与外部导线无耦合的态，且仅对连续部分存在修正的弗里德尔求和规则。

ABSTRACT

We consider graphs made of one-dimensional wires connected at vertices and on which may live a scalar potential. We are interested in a scattering situation where the graph is connected to infinite leads. We investigate relations between the scattering matrix and the continuous part of the local density of states, the injectivities, emissivities and partial local density of states. Those latter quantities can be obtained by attaching an extra lead at the point of interest and by investigating the transport in the limit of zero transmission into the additional lead. In addition to the continuous part related to the scattering states, the spectrum of graphs may present a discrete part related to states that remain uncoupled to the external leads. The theory is illustrated with the help of a few simple examples.

研究动机与目标

• 为量子图建立一个局域弗里德尔求和规则，将散射矩阵性质与局域谱量（如局域态密度、注入性和发射性）联系起来。
• 在因对称性使某些态与外部导线解耦的图中，同时考虑态密度的连续（散射）和离散（局域）部分。
• 通过在图上特定点附加一个透射率为零的辅助导线，发展一种提取局域输运和谱性质的方法。
• 将标准弗里德尔求和规则推广至不与外部导线耦合的局域态，表明仅态密度的连续部分与散射矩阵相关。

提出的方法

• 局域态密度（LDoS）被分解为连续和离散贡献：ρ(x;E) = ∑α|ψ̃E(α)(x)|² + ∑n ∑j=1^{gn} δ(E−En)|φn,j(x)|²，其中第一项对应散射态，第二项对应局域束缚态。
• 态密度的连续部分通过修正的弗里德尔求和规则与散射矩阵Σ关联：ρreg(E) = 1/(2iπ) [ d/dE ln det Σ + (1/(4E)) Tr{Σ − Σ†} ]。
• 在某一点的注入性和发射性通过在该点附加一个辅助导线并取透射振幅趋于零的极限来定义，以提取局域输运性质。
• 该方法采用图上的散射矩阵形式，其中波函数在节点处连续，哈密顿量包含标量势，由于对称性保护的局域态导致谱被划分为规则（连续）和离散部分。
• 通过将图的散射态与时间反演对应图的散射态关联，分析时间反演对称性，表明Σ†(ψ̃^{t.r.})^T = ψ̃† 且 ψ̃^{t.r.} = ψ̃*Σ^T。
• 通过简单例子说明该方法，包括一个具有磁通的环，其中弗里德尔相位δf在θ ≠ 0时表现出每区间两次2π的跃迁，而θ = 0时仅一次，反映出简并性的解除。

Figure 1: Ring penetrated by an Aharonov-Bohm flux coupled to two leads. The functional derivative of the scattering matrix at $x$ determines the local quantities: partial density of states, injectivities, emissivities and the local density of states.

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将量子图上的局域态密度分解为散射态和局域态的贡献？
• RQ2 在存在局域束缚态的图中，散射矩阵与局域态密度的连续部分之间有何关系？
• RQ3 如何通过在图上某点附加一个透射率为零的辅助导线来定义和计算该点的注入性和发射性？
• RQ4 时间反演对称性如何影响具有磁通的量子图中的散射态和弗里德尔相位？
• RQ5 在环形图中，弗里德尔相位δf(k²)作为波数和磁通的函数行为如何？θ = 0与θ ≠ 0时有何不同？

主要发现

• 局域态密度的连续部分通过考虑散射矩阵的非厄米结构，与修正的弗里德尔求和规则相关联。
• 与外部导线无耦合的局域态在态密度中贡献一个离散的δ函数分量，该分量无法被标准弗里德尔求和规则捕捉。
• 当磁通θ ≠ 0时，弗里德尔相位δf(k²)在每个区间内表现出两次2π的跃迁，而θ = 0时仅一次，反映出简并性的解除。
• 在k² = 0处，δf的不连续性在θ ≠ 0时为π，在θ = 0时为0，表明磁通导致散射相位的拓扑差异。
• 时间反演图的散射态与原态的复共轭通过Σ†(ψ̃^{t.r.})^T = ψ̃† 关联，展示了时间反演对称性如何作用于散射振幅。
• 在弱耦合极限下，共振En附近的散射态近似为ψ̃(α)(x) ≈ (1/√π) [iEn^{1/4} wα φn(α)* / (E − En + iΓn)] φn(x)，其时间反演态通过波函数振幅的复共轭与之不同。

Figure 8: Friedel phase $\delta_{f}(k^{2})$ . The coupling is $w=0.25$ and the length $l=1$ . The four curves corresponds to $\theta=1.5$ (squares), $\theta=0.5$ (triangles), $\theta=0.1$ (diamonds) and $\theta=0$ (circles). The two lines are $kl$ and $2kl$ . If $\theta\neq 0$ there are two jumps of