[论文解读] Local generalization of Pauli's theorem

Н. Г. Марчук, Dmitry Shirokov|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2012

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文将泡利定理由离散情形推广至欧氏空间中光滑的克利福德代数生成元族，证明当 $ n $ 为偶数时，两组此类生成元族在局部可通过光滑相似变换相互关联。当 $ n $ 为奇数时，对所有可能的连接类型进行了分类。该问题可归结为求解由旋量联络导出的偏微分方程组，且对低维情形（$ n=2 $, $ r \geq 1 $ 与 $ n \geq 2 $, $ r=1 $）给出了显式解。

ABSTRACT

Generalized Pauli's theorem, proved by D. S. Shirokov for two sets of anticommuting elements of a real or complexified Clifford algebra of dimension $2^n$, is extended to the case, when both sets of elements depend smoothly on points of Euclidian space of dimension $r$. We prove that in the case of even $n$ there exists a smooth function such that two sets of Clifford algebra elements are connected by a similarity transformation. All cases of connection between two sets are considered in the case of odd $n$. Using the equation for the spin connection of general form, it is shown that the problem of the local Pauli's theorem is equivalent to the problem of existence of a solution of some special system of partial differential equations. The special cases $n=2$, $r\geq 1$ and $n\geq 2$, $r=1$ with more simpler solution of the problem are considered in detail.

研究动机与目标

• 将泡利定理推广至克利福德代数生成元在欧氏空间中光滑依赖于点的情形。
• 建立两个光滑变化的反对易克利福德代数元素集合之间通过光滑相似变换关联的条件。
• 当 $ n $ 为奇数时，对这类集合之间的所有可能连接类型进行分类。
• 证明局部泡利问题等价于求解由旋量联络导出的偏微分方程组。
• 为特殊情况（包括 $ n=2 $, $ r \geq 1 $ 与 $ n \geq 2 $, $ r=1 $）提供显式解，采用指数映射与旋量型变换。

提出的方法

• 以取值于实或复化克利福德代数 $ \mathcal{C}\!\ell^{\mathbb{F}}(p,q) $ 的光滑函数 $ g^a(x), h^a(x) $ 表述问题，满足反对易关系 $ g^a g^b + g^b g^a = 2\eta^{ab}e $。
• 通过 $ C_\mu = \frac{1}{4}(\partial_\mu h^a) h_a $ 定义旋量联络，其生成变换 $ T(x) = \exp(C(x))K $，其中 $ K $ 可逆。
• 利用方程 $ \partial_\mu S(x) = C_\mu(x) S(x) $ 推导出解 $ S(x) = \exp(C(x))K $，确保 $ g^a(x) = T^{-1}(x) h^a(x) T(x) $。
• 当 $ n $ 为偶数时，证明在任意点 $ x_0 $ 的邻域 $ O_\varepsilon(x_0) $ 内存在光滑可逆的 $ T(x) $，使得 $ g^a(x) = T^{-1}(x) h^a(x) T(x) $。
• 当 $ n $ 为奇数时，对两组之间的所有可能连接类型进行分类，表明变换可能无法全局存在。
• 分析特殊情况：$ n=2 $, $ r \geq 1 $，以及 $ n \geq 2 $, $ r=1 $，通过旋转/洛伦兹变换矩阵的显式参数化，计算 $ C_\mu $ 与 $ T(x) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，欧氏空间中两个光滑变化的反对易克利福德代数生成元族可通过光滑相似变换相互关联？
• RQ2 局部泡利问题如何归结为涉及旋量联络的偏微分方程组求解？
• RQ3 当 $ n $ 为奇数时，这两组之间所有可能的连接类型有何完整分类与类型？
• RQ4 能否为低维情形（如 $ n=2 $, $ r \geq 1 $ 与 $ n \geq 2 $, $ r=1 $）构造显式解？
• RQ5 非交换旋量联络（即 $ [C_\mu, C\nu] \neq 0 $）对局部泡利问题可解性有何影响？

主要发现

• 当 $ n $ 为偶数时，在任意点 $ x_0 $ 的邻域内存在光滑可逆变换 $ T(x) $，使得 $ g^a(x) = T^{-1}(x) h^a(x) T(x) $，且 $ T(x) $ 属于 $ C^k $ 类。
• 变换 $ T(x) $ 唯一性仅在乘以一个非零光滑标量函数的意义下成立（实数情形为实值，复数情形为复值）。
• 当 $ n=2 $ 时，通过 $ T(x) = \exp(C(x))K $ 构造显式解，其中 $ C_\mu = \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi \cdot e^{12} $，且 $ \varphi(x) $ 为光滑函数。
• 在 $ n=2 $, $ r=1 $ 情形下，解 $ T(x) $ 满足对所有 $ x \in V $ 有 $ e^a = T^{-1}(x) h^a(x) T(x) $，且 $ T(x) = \cos(\varphi(x)/2)e \pm \sin(\varphi(x)/2)e^{12} $。
• 当 $ n=3 $, $ r=1 $ 时，若 $ h^a $ 以欧拉角参数化，则旋量联络 $ C_\mu $ 为非阿贝尔（即 $ [C_\mu, C_\nu] \neq 0 $），且庞加莱引理不再适用。
• 局部泡利问题等价于求解 $ \partial_\mu S(x) = C_\mu(x) S(x) $，其解为 $ S(x) = \exp(C(x))K $，且变换 $ T(x) $ 在所有 $ x \in V $ 上可逆。