[论文解读] Local-global compatibility for regular algebraic cuspidal automorphic representation when $\ell eq p$

Ila Varma|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 10

一句话总结

该论文在所有满足 v ∤ p 的位置 v 上，建立了 CM 域上 GL_n 的正规代数尖点自守表示的局部-整体相容性，证明了与 π 关联的 p-adic Galois 表示的弗罗贝尼乌斯半简化部分，与局部兰道兰德对应关系在半简化意义下一致。关键结果表明，伽罗瓦表示的单子作用比局部兰道兰德参数的单子作用‘更幂零’，将此前仅在无瑕位置成立的相容性结果推广至所有 v ∤ p 的位置。

ABSTRACT

We prove the compatibility of local and global Langlands correspondences for $GL_n$ up to semisimplification for the Galois representations constructed by Harris-Lan-Taylor-Thorne and Scholze. More precisely, let $r_p(π)$ denote an $n$-dimensional $p$-adic representation of the Galois group of a CM field $F$ attached to a regular algebraic cuspidal automorphic representation $π$ of $GL_n(\mathbb{A}_F)$. We show that the restriction of $r_p(π)$ to the decomposition group of a place $v mid p$ of $F$ corresponds up to semisimplification to $rec(π_v)$, the image of $π_v$ under the local Langlands correspondence. Furthermore, we can show that the monodromy of the associated Weil-Deligne representation of $.r_p(π)|_{G_{F_v}}$ is `more nilpotent' than the monodromy of $rec(π_v)$.

研究动机与目标

• 将 CM 域上 GL_n 的正规代数尖点自守表示的局部-整体相容性从仅无瑕位置推广至所有满足 v ∤ p 的位置。
• 建立与 π 关联的 p-adic Galois 表示 r_p(π) 的弗罗贝尼乌斯半简化部分与 π_v ⊗ |det|^{(1−n)/2} 的局部兰道兰德对应关系在半简化意义下的一致性。
• 证明伽罗瓦表示的单子算符比局部兰道兰德参数的单子算符‘更幂零’，从而对相容性条件进行精化。
• 通过 p-adic 极限的典型尖形式在酉相似性群上的构造，建立连续伪表示，从而实现在伽罗瓦侧与兰道兰德侧之间的迹比较。
• 利用过拟合自守形式上的伯恩斯坦中心与迹公式技术，插值 Hecke 特征值并推导出相容性。

提出的方法

• 通过从 GL_1 × GL_n 的抛物诱导，在一个符号为 (n,n) 的拟分裂酉相似性群 G 上构造一族自守表示 Π(M)。
• 利用 p-adic 自守形式理论，将 Π(M) 实现为 p-adic 模形式空间中有限斜率的子表示。
• 对作用在 p-adic 与典型尖形式上的 Hecke 代数应用伯恩斯坦中心，证明 Hecke 算符的特征值与局部兰道兰德参数的迹一致。
• 构造一个连续伪表示 T: Gal(F̄/F) → Q̄_p，其迹与 rec_{F_v}(Π(M)_v ⊗ |det|^{(1−2n)/2}) 在所有关于 F^+ 分裂的 v ∤ p 处一致。
• 利用韦尔群中弗罗贝尼乌斯元素的稠密性与同型分量的结构，比较韦尔-德利涅表示中的单子作用。
• 利用分解 R_p(π, M) ≅ r_p(π) ⊕ r_p(⁰cπ)^c,∨ ⊗ ε_p^{1−2n−2M}（当 M 足够大时）分离分量，并通过分量间的主导性比较单子结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有满足 v ∤ p 的位置 v 上，伽罗瓦表示 r_p(π) 的局部-整体相容性是否成立，而不仅限于无瑕位置？
• RQ2 与 r_p(π)|_{G_{F_v}} 关联的韦尔-德利涅表示的单子作用能否用局部兰道兰德参数的单子作用来界定？
• RQ3 是否能通过经典尖形式的 p-adic 极限，将伽罗瓦侧与兰道兰德侧的迹匹配关系推广至无瑕位置之外？
• RQ4 过拟合形式上的伯恩斯坦中心结构如何实现 Hecke 特征值向非典型权的插值？
• RQ5 在弗罗贝尼乌斯半简化意义下，r_p(π) 与局部兰道兰德参数的同型分量之间的确切关系为何？

主要发现

• 与 r_p(π)|_{G_{F_v}} 关联的韦尔-德利涅表示的弗罗贝尼乌斯半简化部分被局部兰道兰德参数所主导：WD(r_p(π)|_{G_{F_v}})^{Frob-ss} ≺ rec_{F_v}(π_v ⊗ |det|_{v}^{(1−n)/2})。
• 对所有满足 v ∤ p 的位置 v，半简化韦尔-德利涅表示满足 WD(r_p(π)|_{G_{F_v}})^{ss} ≅ 𝔦^{-1} rec_{F_v}(π_v ⊗ |det|_{v}^{(1−n)/2})^{ss}，将先前结果推广至所有 v ∤ p。
• WD(r_p(π)|_{G_{F_v}})^{Frob-ss} 的单子算符比 rec_{F_v}(π_v ⊗ |det|_{v}^{(1−n)/2}) 的单子算符更幂零，即其幂零指数更小。
• 通过经典尖形式的 p-adic 极限构造伪表示 T，确保对所有关于 F^+ 分裂的 v ∤ p，迹匹配关系成立，从而实现全局相容性。
• 当 M 足够大时，r_p(π) 与 r_p(⁰cπ)^c,∨ ⊗ ε_p^{1−2n−2M} 的同型分量互不相交，从而可实现分量间的单子结构比较。
• 该结果对所有 CM 域 F 上 GL_n(A_F) 的正规代数尖点自守表示 π 成立，其中 r_p(π) 通过基变换与自守诱导从 G 上的过拟合形式构造。