[论文解读] Local Hamiltonians with No Low-Energy Stabilizer States

Nolan J. Coble, Matthew Coudron+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

该论文通过使用单量子比特 Clifford 门对 CSS 代码进行旋转，构建了局部哈密顿量族，其低能量子空间中不包含可由 Clifford 电路制备的稳定化态——即无低能量稳定化态（NLCS）哈密顿量。关键贡献是提出了一种系统化方法来生成此类 NLCS 哈密顿量，扩展了先前的 NLTS 构造，并为量子 PCP 猜想提供了路径，同时避免了稳定化态和平凡态。

ABSTRACT

The recently-defined No Low-energy Sampleable States (NLSS) conjecture of Gharibian and Le Gall [GL22] posits the existence of a family of local Hamiltonians where all states of low-enough constant energy do not have succinct representations allowing perfect sampling access. States that can be prepared using only Clifford gates (i.e. stabilizer states) are an example of sampleable states, so the NLSS conjecture implies the existence of local Hamiltonians whose low-energy space contains no stabilizer states. We describe families that exhibit this requisite property via a simple alteration to local Hamiltonians corresponding to CSS codes. Our method can also be applied to the recent NLTS Hamiltonians of Anshu, Breuckmann, and Nirkhe [ABN22], resulting in a family of local Hamiltonians whose low-energy space contains neither stabilizer states nor trivial states. We hope that our techniques will eventually be helpful for constructing Hamiltonians which simultaneously satisfy NLSS and NLTS.

研究动机与目标

• 通过将稳定化态作为可采样态的可处理子类，解决无低能量可采样态（NLSS）猜想。
• 构建低能量子空间中不包含任何稳定化态的局部哈密顿量，从而加强 NLSS 猜想。
• 将现有 NLTS 构造（例如 ABN22 中的构造）扩展，以同时排除稳定化态和平凡态。
• 探索将任意 CSS 哈密顿量通过常深度电路旋转是否可产生同时满足 NLTS 和 NLSS 的哈密顿量。
• 提供一个构建哈密顿量的框架，以期最终满足量子 PCP 猜想，通过避免经典可处理的低能量态。

提出的方法

• 通过在每个量子比特上应用酉变换 $ e^{-i\pi/8 Y} $ 对与 CSS 代码相关的局部哈密顿量进行旋转，改变其稳定化结构。
• 使用经典码的奇偶检查矩阵的张量积构造全局稳定化生成元，确保所有行具有奇权重。
• 利用量子塔纳码和渐近最优的量子 LDPC 码（来自 LZ22）的性质，确保所得哈密顿量是局部的且具有常数承诺间隙。
• 通过分析稳定化生成元的权重及其在旋转下的变换，证明旋转后的哈密顿量在常数能量阈值以下不包含任何稳定化态。
• 将该方法应用于 Anshu、Breuckmann 和 Nirkhe（ABN22）的 NLTS 哈密顿量，得到一族既无低能量稳定化态也无平凡态的局部哈密顿量。
• 使用显式构造和概率方法，证明满足所需奇权重条件的矩阵存在，从而确保在大码距下 NLCS 性质以高概率成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出其低能量子空间中不包含稳定化态的局部哈密顿量？
• RQ2 在每个量子比特上对 CSS 哈密顿量应用 $ e^{-i\pi/8 Y} $ 旋转后，是否能产生无低能量稳定化态的哈密顿量？
• RQ3 能否修改 ABN22 的 NLTS 构造，使其同时排除稳定化态和平凡态？
• RQ4 是否可以将 NLCS 构造推广到任意 CSS 哈密顿量，即使其仅具有偶权重稳定化生成元？
• RQ5 若假设 P ≠ #P，能否通过将零哈密顿量用低深度电路旋转，得到一个 NLSS 哈密顿量？

主要发现

• 作者通过将基于 CSS 代码的哈密顿量用 $ e^{-i\pi/8 Y} $ 旋转，显式构造了无低能量稳定化态的局部哈密顿量族，并证明了此类系统中 NLCS 性质成立。
• 对于一个特定的简单哈密顿量 $ \tilde{H}_0 = \frac{1}{n} \sum_i (e^{i\pi/8 Y} |1\rangle\langle1| e^{-i\pi/8 Y})_i $，本文证明了由 Clifford + 1 T 门电路制备的态的能量具有紧下界。
• 在 $ \tilde{H}_0 $ 下，由 Clifford + t 个 T 门电路制备的态的能量被猜想对所有 $ t \leq n $ 具有紧下界，表明能量随 T 门数量增加而上升。
• 该方法成功扩展至 ABN22 的 NLTS 哈密顿量，产生一族其低能量子空间中既无稳定化态也无平凡态的新型局部哈密顿量。
• 该构造确保旋转后所有全局奇偶检查矩阵（X 和 Z 稳定化算符）的行均具有奇权重，这是排除稳定化态的关键。
• 结果表明，对任意 CSS 哈密顿量进行常深度电路旋转，可能产生同时满足 NLTS 和 NLSS 的哈密顿量，尽管该问题仍为开放问题，尚需进一步技术手段。