[论文解读] Local index formula and twisted spectral triples

Henri Moscovici|ArXiv.org|Feb 5, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 22

一句话总结

该论文为由具有局部常数横截共形因子的共形叶状结构所导出的类型III扭曲谱三元组建立了局部指标公式。尽管扭曲JLO上循环在Connes双复形中不构成上循环，但通过无限温度极限与正实轴上的积分，恢复了上循环恒等式，从而实现了与未扭曲情形一致的Connes-Chern示性类的余项积分表示。

ABSTRACT

We prove a local index formula for a class of twisted spectral triples of type III modeled on the transverse geometry of conformal foliations with locally constant transverse conformal factor. Compared with the earlier proof of the untwisted case, the novel aspect resides in the fact that the twisted analogues of the JLO entire cocycle and of its retraction are no longer cocycles in their respective Connes bicomplexes. We show however that the passage to the infinite temperature limit, respectively the integration along the full temperature range against the Haar measure of the positive half-line, has the remarkable effect of curing in both cases the deviations from the cocycle identity.

研究动机与目标

• 将未扭曲情形下的局部指标公式推广至类型III的扭曲谱三元组。
• 解决扭曲JLO上循环在Connes双复形中不满足上循环恒等式的问题。
• 证明无限温度极限与哈尔测度积分可恢复构造局部指标公式所必需的上循环与联络恒等式。
• 在具有Möbius或相似性单值群的共形叶状结构的具体例子上验证扭曲局部指标公式的假设。
• 建立扭曲情形下Connes-Chern示性类仍可表示为余项积分，与未扭曲情形类似。

提出的方法

• 基于先前工作中局部Hochschild上循环的形式，提出一个基于假设的扭曲局部指标公式。
• 在模拟具有Möbius或相似性单值群的共形叶状结构横截几何的谱三元组上检验该假设。
• 引入温度参数，并分析扭曲JLO上循环在无限温度极限下的行为，以恢复上循环恒等式。
• 通过在正实轴上关于哈尔测度进行积分，构造一个满足上循环恒等式的联络上循环。
• 应用先前工作中提出的余项积分构造方法，将所得上循环表达为局部公式。
• 通过展示该公式在K-同调类与由不变椭圆微分算子导出的K-理论类之间的指标配对中正确计算出Connes-Chern示性类，从而验证该公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管扭曲JLO上循环在Connes双复形中不构成上循环，是否仍可为类型III的扭曲谱三元组建立局部指标公式？
• RQ2 无限温度极限是否能恢复扭曲JLO上循环的上循环恒等式？
• RQ3 在正实轴上关于ℝ⁺的哈尔测度对整个温度范围进行积分，是否能修复扭曲情形下与联络恒等式之间的偏差？
• RQ4 扭曲谱三元组的Connes-Chern示性类是否可表示为余项积分形式，与未扭曲情形类似？
• RQ5 所提出的局部公式是否可在具有相似性结构的共形叶状结构等几何例子上得到验证？

主要发现

• 扭曲JLO上循环在Connes双复形中不构成上循环，但无限温度极限可恢复上循环恒等式。
• 通过在正实轴上关于ℝ⁺的哈尔测度对整个温度范围进行积分，可恢复联络恒等式，从而得到一个真正的上循环。
• 所得上循环可表示为余项积分，与未扭曲情形类似。
• 该局部指标公式的假设在模拟具有抛物单值群（即ℝⁿ上相似变换）的共形叶状结构的谱三元组上被验证为成立。
• 扭曲谱三元组的Connes-Chern示性类由一个与标准形式一致的余项上循环表示。
• 扭曲Dirac算子的K-同调类与由不变椭圆微分算子导出的K-理论类之间的指标配对结果为整数，证实其与拓扑预期一致。