[论文解读] Local index theory for certain Fourier integral operators on Lie groupoids

Denis Perrot|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文通过构建一个将真实算子与其非交换符号联系起来的代数短正合列，为具有非本真、非等距作用的李群胚上的傅里叶积分算子发展了一套局部指标理论。它利用涉及固定点集处非交换符号的喷射的沃兹奇基型迹公式，计算了周期循环上同调中的连接映射，将指标定理推广至非本真或非等距作用的情形。

ABSTRACT

We develop a local index theory for Fourier-integral operators associated to non-proper and non-isometric actions of Lie groupoids on smooth submersions. To such action is associated a short exact sequence of algebras, relating genuine Fourier-integral operators to their non-commutative symbol. We then compute the connecting map induced by this extension on periodic cyclic cohomology. When cyclic cohomology is localized at appropriate isotropic submanifolds of the groupoid in question, we find that the connecting map is expressed in terms of an explicit Wodzicki-type residue formula, which involves the jets of non-commutative symbols at the fixed-point set of the action.

研究动机与目标

• 将指标理论扩展至与李群胚在纤维丛上的非本真和非等距作用相关的傅里叶积分算子。
• 在李群胚作用的背景下，建立一个将真实算子与其非交换符号联系起来的代数短正合列。
• 计算该扩张在周期循环上同调中的连接映射，特别是针对同调子流形的局部化。
• 将指标定理推广至经典情形（如本真或等距作用）之外，包括离散群作用的情形。
• 提供关于在固定点集处的非交换符号的喷射的余式公式，以表达切除映射。

提出的方法

• 构建一个代数短正合列：$0 \to \mathscr{B} \to \mathscr{E} \to \mathscr{A} \to 0$，其中$\mathscr{E}$是垂直拟微分算子的交叉积代数，而$\mathscr{A}$是作用群胚$S^{*}_{\pi}M \rtimes G$的光滑卷积代数。
• 利用周期循环上同调的切除性质，定义连接映射$E^*: HP^\bullet(\mathscr{B}) \to HP^{\bullet+1}(\mathscr{A})$。
• 将循环上同调在同调子流形$O \subset G$及其提升$\pi^*O \subset S^{\pi}_*M \rtimes G$上局部化，以细化指标配对。
• 通过沃兹奇基迹和固定点集处非交换符号的喷射，定义一个余式公式，以表达连接映射。
• 构造一个连续线性截面$\sigma: \mathscr{A} \to \mathscr{E}$，将符号上抬为算子，并通过迹公式计算指标配对。
• 推导出循环余上循环在切除映射下的像的显式余式表达式，涉及$\mathrm{Res}$和$[\ln Q, \sigma(a)]$项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将指标理论扩展至与李群胚的非本真和非等距作用相关的傅里叶积分算子？
• RQ2 扩张$0 \to \mathscr{B} \to \mathscr{E} \to \mathscr{A} \to 0$在周期循环上同调中的连接映射结构是什么？
• RQ3 切除映射$E^*$如何用几何与分析数据显式计算？
• RQ4 固定点集处非交换符号的喷射在指标公式中起什么作用？
• RQ5 指标配对能否通过涉及椭圆算子对数余式的沃兹奇基型余式公式表达？

主要发现

• 周期循环上同调中的连接映射$E^*$通过涉及群胚作用固定点集处非交换符号喷射的沃兹奇基型余式公式计算得出。
• 切除映射表示为余式配对：$\pi^{!}_G(\varphi)((\natural(a_1 \otimes \cdots \otimes a_{n-1} \mathbf{d}a_n))) = \varphi \circ \mathrm{Res}(\sigma(a_1) \otimes \cdots \otimes [\ln Q, \sigma(a_n)] \cdots)$。
• 对于偶数类$[\varphi] \in HP^0_{\mathrm{top}}(C^\infty_c(B) \rtimes G)_{[O]}$，其在$\pi^{!}_G$下的像通过余式公式由$\mathscr{A}$上的奇数次循环余上循环表示。
• 对于奇数类$[\varphi] \in HP^1_{\mathrm{top}}(C^\infty_c(B) \rtimes G)_{[O]}$，其像由包含$\mathbf{d}\sigma(a_j)$项的迭代余式的偶数次循环余上循环表示。
• 指标配对$\langle [\tau_\varphi], \mathrm{Ind}_E([u]) \rangle$计算为$\varphi \circ \mathrm{Res} \sharp \mathrm{tr}(\sigma_*(\hat{u}^{-1})[\ln Q, \sigma_*(\hat{u})])$，其中$Q$为正的阶一椭圆拟微分算子。
• 该公式为指标配对提供了明确且可计算的表达式，涉及非交换符号$u$和$Q$的对数余式，即使在作用非本真或非等距时也成立。