[论文解读] Local invariants of non-commutative tori

Fedor Sukochev, Dmitriy Zanin|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文建立了对一般曲率非交换环面的渐近热迹展开式，将Minakshisundaram-Plejel定理推广至共形以外的情形。该文提出一种算法，用于计算展开式中作为局部不变量的系数，采用拉普拉斯-贝尔特拉米算子而非狄拉克算子，并将非交换几何中关于标量曲率和高阶曲率不变量的先前结果推广至多维非共形形变环面。

ABSTRACT

We consider a generic curved non-commutative torus extending the notion of conformally deformed non-commutative torus from \cite{Connes-Tretkoff}. In general, a curved non-commutative torus is no longer represented by a spectral triple, not even by a twisted spectral triple. Therefore, the geometry of this manifold is governed by a positive second order differential operator (Laplace-Betrami operator) rather than a first order differential operator (Dirac operator). For this manifold, we prove an asymptotic expansion of the heat semi-group generated by Laplace-Beltrami operator and provide an algorithm to compute the local invariants which appear as coefficients in the expansion. This allows to extend the results of \cite{Connes-Tretkoff}, \cite{Connes-Moscovici}, \cite{FaKh} (beyond conformal case and/or for multi-dimensional tori).

研究动机与目标

• 将Minakshisundaram-Plejel定理推广至具有通用非平坦黎曼度量的非交换环面。
• 建立拉普拉斯-贝尔特拉米算子在曲率非交换环面上的热迹渐近展开式的存在性。
• 提供一种系统化方法，用于计算在无谱三元组结构情况下的局部不变量（热展开式中的系数）。
• 将非交换几何中关于标量曲率与高阶不变量的先前结果推广至多维、非共形形变的环面。
• 在缺乏谱三元组或扭曲谱三元组结构的情况下，通过热迹展开式定义局部不变量。

提出的方法

• 构建一个正定的二阶微分算子（拉普拉斯-贝尔特拉米算子），作为非交换环面上黎曼度量的几何实现。
• 利用该算子生成的热半群，推导热核迹的渐近展开式。
• 将局部不变量 $ a_k(x) $ 定义为展开式 $ ext{Tr}( ho(x)e^{-t riangle_g}) hicksim t^{-d/2} ext{sum} t^{k/2} a_k(x) $ 中的系数，其中 $ k $ 为偶数。
• 通过度量扰动 $ g' $ 引入正则化程序，将原环面嵌入更高维的非交换环面中，以利用解析延拓。
• 应用复分析技术，包括围道积分与相关函数 $ ext{corr}_k(u,z) $ 的全纯性，建立不同度量结构上迹之间的关联。
• 利用泊松求和公式与迹恒等式，将扩展度量上的热迹与原始度量上的热迹关联，从而实现系数的提取。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Minakshisundaram-Plejel渐近展开式推广至具有通用非共形形变黎曼度量的非交换环面？
• RQ2 在缺乏谱三元组结构的情况下，如何系统化地计算局部不变量（热迹展开式中的系数）？
• RQ3 拉普拉斯-贝尔特拉米算子在曲率非交换环面上的热迹展开式具有何种结构？
• RQ4 系数 $ a_k(x) $ 在非交换设定下如何与标量曲率及黎曼曲率等几何不变量相关联？
• RQ5 能否将 $ a_k(x) $ 的算法化计算方法从二维共形情形推广至高维非交换环面？

主要发现

• 对于一般曲率非交换环面，热迹 $ ext{Tr}( ho(x)e^{-t riangle_g}) $ 存在渐近展开式，其系数 $ a_k(x) $ 对应于局部不变量。
• 系数 $ a_k(x) $ 由 $ a_k(x) = \tau(x \nu^{-1/2} I_k \nu^{1/2}) $ 给出，其中 $ I_k $ 为从度量张量显式计算出的泛函。
• 该方法将先前关于标量曲率（$ a_2 $）与高阶不变量（$ a_4 $）的结果推广至非共形、多维非交换环面。
• 通过将原环面嵌入具有扩展度量 $ g' $ 的更高维非交换环面的扰动论证，证明了热迹展开式的成立性，从而实现迹的比较。
• 扩展度量上的迹满足 $ \text{Tr}(e^{-t\triangle}) = \left(\frac{\tau}{t}\right)^{(d'-d)/2}(1 + O(t^\nu)) $，从而可恢复原始展开式，仅含高阶修正项。
• 最终结果确认 $ \text{Tr}(\rho(x)e^{-t\triangle_g}) \thicksim t^{-d/2} \text{sum}_{k \text{ even}} t^{k/2} \tau(x \nu^{-1/2} I_k \nu^{1/2}) $，为计算局部不变量提供了完整算法。