[论文解读] Local $L^p$-Brunn-Minkowski inequalities for $p < 1$

Kolesnikov Alexander, Emanuel Milman|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 51被引用 27

一句话总结

该论文在 $ mathbb{R}^n$ 中光滑且关于原点对称的凸体背景下，建立了 $p < 1$ 的局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式，证实了在 $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 范围内，经典 Brunn-Minkowski 不等式在局部的猜想加强形式。关键结果是与 Hilbert–Brunn–Minkowski 算子相关的谱隙最小化问题，该问题使得在偶 $L^p$-Minkowski 问题中实现局部唯一性，并改进了 Brunn-Minkowski 与等周不等式的稳定性估计。

ABSTRACT

The $L^p$-Brunn-Minkowski theory for $p\geq 1$, proposed by Firey and developed by Lutwak in the 90's, replaces the Minkowski addition of convex sets by its $L^p$ counterpart, in which the support functions are added in $L^p$-norm. Recently, Böröczky, Lutwak, Yang and Zhang have proposed to extend this theory further to encompass the range $p \in [0,1)$. In particular, they conjectured an $L^p$-Brunn-Minkowski inequality for origin-symmetric convex bodies in that range, which constitutes a strengthening of the classical Brunn-Minkowski inequality. Our main result confirms this conjecture locally for all (smooth) origin-symmetric convex bodies in $\mathbb{R}^n$ and $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}},1)$. In addition, we confirm the local log-Brunn--Minkowski conjecture (the case $p=0$) for small-enough $C^2$-perturbations of the unit-ball of $\ell_q^n$ for $q \geq 2$, when the dimension $n$ is sufficiently large, as well as for the cube, which we show is the conjectural extremal case. For unit-balls of $\ell_q^n$ with $q \in [1,2)$, we confirm an analogous result for $p=c \in (0,1)$, a universal constant. It turns out that the local version of these conjectures is equivalent to a minimization problem for a spectral-gap parameter associated with a certain differential operator, introduced by Hilbert (under different normalization) in his proof of the Brunn-Minkowski inequality. As applications, we obtain local uniqueness results in the even $L^p$-Minkowski problem, as well as improved stability estimates in the Brunn-Minkowski and anisotropic isoperimetric inequalities.

研究动机与目标

• 在光滑且关于原点对称的凸体背景下，解决 $p < 1$ 的局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 猜想。
• 在 $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 范围内，建立偶 $L^p$-Minkowski 问题的局部唯一性结果。
• 通过谱方法推导 Brunn-Minkowski 与各向异性等周不等式的改进稳定性估计。
• 通过 Reilly 公式将 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式与 Hilbert–Brunn–Minkowski 算子的谱隙联系起来。

提出的方法

• 将局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式表述为在凸体边界上涉及 Hilbert–Brunn–Minkowski 算子的谱最小化问题。
• 利用 Reilly 公式，通过估计势函数 Hessian 矩阵的 $L^2$-范数，推导出局部不等式成立的充分条件。
• 应用第二类 Steklov 算子，并计算其在欧氏球 $B_2^n$ 上的作用，以获得基准估计。
• 证明谱隙泛函 $B_H(K)$ 在 $C^2$-拓扑下的连续性，从而将结果从球体推广至邻近的凸体。
• 利用最优传输与几何不等式（包括 AM-GM 与柯西-施瓦茨不等式），将凸体的不对称性与 $L^p$-Brunn-Minkowski 缺失量联系起来。
• 借助 KLS 猜想及对 Cheeger 常数的已知界，控制谱隙并推导出与维数相关的稳定性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑且关于原点对称的凸体情形下，$p < 1$ 时的 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式是否在局部成立？
• RQ2 在高维下，对于 $q \geq 2$ 的 $\ell_q^n$-球的小型 $C^2$-扰动，局部 log-Brunn-Minkowski 猜想（$p=0$）是否可被证实？
• RQ3 在无条件凸体中，立方体是否为局部 log-Brunn-Minkowski 不等式的极值情形？
• RQ4 Hilbert–Brunn–Minkowski 算子的谱隙是否可用于刻画局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式？
• RQ5 以方差与不对称性表示时，Brunn-Minkowski 与等周不等式的最优稳定性估计是什么？

主要发现

• 对于所有 $ mathbb{R}^n$ 中光滑且关于原点对称的凸体，当 $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 时，局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式得到证实。
• 当 $n$ 足够大时，对于 $q \geq 2$ 的 $\ell_q^n$-球的小型 $C^2$-扰动，局部 log-Brunn-Minkowski 猜想得到验证。
• 在无条件凸体中，立方体被确认为局部 log-Brunn-Minkowski 不等式的猜想极值情形。
• 对于 $q \in [1,2)$ 的 $\ell_q^n$-球，当 $p = c \in (0,1)$ 时（$c$ 为绝对常数），局部 $L^p$-Brunn-Minkowski 不等式成立。
• 通过谱方法获得了 Brunn-Minkowski 与各向异性等周不等式的改进稳定性估计，且在 KLS 猜想下，缺失量被控制在 $C(n) \leq C n^{5/4}$ 内。
• 在 $p \in [1 - \frac{c}{n^{3/2}}, 1)$ 范围内，建立了偶 $L^p$-Minkowski 问题解的局部唯一性。