[论文解读] Local law and complete eigenvector delocalization for supercritical Erd\H{o}s-R\'enyi graphs.

Yukun He, Antti Knowles+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在超临界尺度 $pN = C\log N$ 处建立了 Erdős-Rényi 随机图邻接矩阵的局部定律和完整的特征向量局域化消除。作者提出了一类新颖的稀疏随机向量多线性大偏差估计，该估计在 $\ell^2$ 与 $\ell^\infty$ 范数之间平衡，并结合组合因子，从而在极稀疏区域实现了证明局部定律与特征向量局域化消除所必需的强集中界，突破了以往要求 $pN \gtrsim (\log N)^6$ 的限制。关键贡献在于首次将局部定律与完全局域化消除结果延伸至临界连通性阈值。

ABSTRACT

We prove a local law for the adjacency matrix of the Erd\H{o}s-R\'enyi graph $G(N, p)$ in the supercritical regime $ pN \geq C\log N$ where $G(N,p)$ has with high probability no isolated vertices. In the same regime, we also prove the complete delocalization of the eigenvectors. Both results are false in the complementary subcritical regime. Our result improves the corresponding results from [11] by extending them all the way down to the critical scale $pN = O(\log N)$. A key ingredient of our proof is a new family of multilinear large deviation estimates for sparse random vectors, which carefully balance mixed $\ell^2$ and $\ell^\infty$ norms of the coefficients with combinatorial factors, allowing us to prove strong enough concentration down to the critical scale $pN = O(\log N)$. These estimates are of independent interest and we expect them to be more generally useful in the analysis of very sparse random matrices.

研究动机与目标

• 在超临界区域 $pN \geq C\log N$ 内，为 Erdős-Rényi 随机图 $G(N,p)$ 的邻接矩阵建立局部定律，扩展以往要求 $pN \gtrsim (\log N)^6$ 的结果。
• 证明完全特征向量局域化消除，即以高概率有 $\|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$，并延伸至临界尺度 $pN = C\log N$。
• 发展一类新的稀疏随机向量多线性大偏差估计，其最优地平衡系数的 $\ell^2$ 与 $\ell^\infty$ 范数及其组合因子，从而在极稀疏区域实现集中界。
• 证明在子临界区域 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ 中，局部定律与特征向量局域化消除均不成立，此时孤立顶点导致局域化特征向量及大量零特征值。

提出的方法

• 利用舒尔补公式推导邻接矩阵 $A$ 的格林函数 $G(z) = (A - z)^{-1}$ 的自洽方程，其中 $A$ 是 $G(N,p)$ 的缩放邻接矩阵。
• 在谱尺度 $\eta$ 上使用归纳法，将局部定律估计从较大尺度传播至更小尺度，直至 $\eta \sim N^{-1}$。
• 提出一类新的稀疏随机向量多线性大偏差界，通过控制系数 $a_{ij}$ 的混合 $\ell^2$ 与 $\ell^\infty$ 范数，控制形如 $\sum_{i \neq j} a_{ij} X_i X_j$ 的表达式，并显式依赖于 $pN$。
• 将这些界应用于 $r = \log N$，通过切比雪夫不等式控制误差概率，实现对任意固定 $D > 0$ 的 $N^{-D}$ 误差界，以满足高概率陈述的需要。
• 结合 $N^2$ 个格林函数条目上的并集界与大偏差界，控制最大偏差 $\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)|$。
• 通过证明 $\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)| \lesssim \zeta$ 以高概率成立，从而建立局部定律，其中 $\zeta$ 是依赖于 $\eta$、$pN$ 与 $N$ 的尺度相关误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在临界尺度 $pN = C\log N$ 处为 Erdős-Rényi 图的邻接矩阵建立局部定律？
• RQ2 在临界阈值 $pN = C\log N$ 处，超临界 Erdős-Rényi 图的完全特征向量局域化消除（即 $\|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$）是否成立？
• RQ3 能否对稀疏随机向量的大偏差估计进行改进，以处理标准界限失效的极稀疏区域 $pN = O(\log N)$？
• RQ4 为何在子临界区域 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ 中，局部定律与特征向量局域化消除会失效？
• RQ5 局部定律误差界对稀疏性参数 $pN$ 的最优依赖关系为何？

主要发现

• 在临界尺度 $pN = C\log N$ 处，缩放邻接矩阵 $A$ 的局部定律成立，且对所有 $\eta \gg N^{-1}$，以高概率有 $\max_{i,j} |G_{ij}(z) - \delta_{ij} m(z)| \lesssim \zeta$，其中 $\zeta$ 是依赖于 $\eta$、$pN$ 与 $N$ 的尺度相关误差项。
• 完全特征向量局域化消除已被证明：在超临界区域 $pN \geq C\log N$ 中，以高概率有 $\max_i \|u_i\|_\infty \lesssim N^{-1/2}$。
• 在子临界区域 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ 中，局部定律与特征向量局域化消除均不成立，此时孤立顶点导致局域化特征向量（$\|u_i\|_\infty = 1$）及大量零特征值。
• 作者构建了一类新的稀疏随机向量多线性大偏差界，可控制 $\left\| \sum_{i \neq j} a_{ij} X_i X_j \right\|_r$，其依赖于 $\gamma = \left( \max_i \frac{1}{N} \sum_j |a_{ij}|^2 \right)^{1/2}$ 与 $\psi = \max_{i,j} \frac{|a_{ij}|}{\sqrt{pN}}$，并在 $pN$ 低至 $O(\log N)$ 时实现最优依赖。
• 通过在大偏差估计中使用 $r = \log N$ 并对 $N^2$ 个条目应用并集界，证明实现了误差概率为 $N^{-D}$ 的高概率界，其中 $D > 0$ 为任意固定常数。
• 该结果在最优性意义上成立，因为假设 $pN \geq C\log N$ 无法进一步改进，因为当 $pN \leq (1-\varepsilon)\log N$ 时，局部定律与局域化消除均不成立。