[论文解读] Local martingale deflators for asset processes stopped at a default time $S^\mathfrak{t}$ or just before $S^{\mathfrak{t}-}$

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|May 18, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用 2

一句话总结

本文利用过滤扩张框架，为在违约时间 S^τ 或 S^{τ−} 停止的资产过程建立了 G-局部本地鞅贴现因子存在的必要与充分条件。关键结果表明，此类贴现因子是 F-局部本地鞅贴现因子的倍数，其倍乘因子来源于 τ 的 Azéma 上鞅的乘法分解。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}\subset \mathbb{G}$ be two filtrations and $S$ be a $\mathbb{F}$ semimartingale possessing a $\mathbb{F}$ local martingale deflator. Consider $ au$ a $\mathbb{G}$ stopping time. We study the problem whether $S^{ au-}$ or $S^{ au}$ can have $\mathbb{G}$ local martingale deflators. A suitable theoretical framework is set up in this paper, within which necessary/sufficient conditions for the problem to be solved have been proved. Under these conditions, we will construct $\mathbb{G}$ local martingale deflators for $S^{ au-}$ or for $S^{ au}$. Among others, it is proved that $\mathbb{G}$ local martingale deflators are multiples of $\mathbb{F}$ local martingale deflators, with a multiplicator coming from the multiplicative decomposition of the Azema supermartingale of $ au$. The proofs of the necessary/sufficient conditions require various results to be established about Azema supermartingale, about local martingale deflator, about filtration enlargement, which are interesting in themselves. Our study is based on a filtration enlargement setting. For applications, it is important to have a method to infer the existence of such setting from the knowledge of the market information. This question is discussed at the end of the paper.

研究动机与目标

• 确定停止过程 S^τ 或 S^{τ−} 在何种条件下可接受 G-局部本地鞅贴现因子。
• 建立一个融合违约时间与局部本地鞅贴现因子的过滤扩张理论框架。
• 以 F-局部本地鞅贴现因子与 τ 的 Azéma 上鞅为基础，刻画 G-局部本地鞅贴现因子的结构。
• 提供一种方法，从市场信息中推断此类过滤扩张设定的存在性。

提出的方法

• 采用 F ⊂ G 的过滤扩张设定，其中 F 为基本过滤，G 为扩展过滤。
• 应用与停时 τ 相关的 Azéma 上鞅的乘法分解。
• 将 S^τ 和 S^{τ−} 的 G-局部本地鞅贴现因子构造为 F-局部本地鞅贴现因子与来自 Azéma 上鞅的特定乘法因子的乘积。
• 通过详细分析 Azéma 上鞅与局部本地鞅贴现因子，推导出此类贴现因子存在的必要与充分条件。
• 运用过滤扩张理论、局部本地鞅贴现因子与上鞅分解的结果，建立核心定理。
• 提供一种构造性方法，从可观测的市场信息中推断过滤扩张设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，停止过程 S^τ 可接受 G-局部本地鞅贴现因子？
• RQ2 S^{τ−} 是否可能存在 G-局部本地鞅贴现因子？其存在的必要与充分条件是什么？
• RQ3 G-局部本地鞅贴现因子的结构如何与 F-局部本地鞅贴现因子及 τ 的 Azéma 上鞅相关联？
• RQ4 Azéma 上鞅的乘法分解在构造 G-局部本地鞅贴现因子过程中起什么作用？
• RQ5 如何从市场信息中推断合适过滤扩张设定的存在性？

主要发现

• S^τ 或 S^{τ−} 的 G-局部本地鞅贴现因子存在的充要条件是 Azéma 上鞅与 F-局部本地鞅贴现因子满足特定条件。
• G-局部本地鞅贴现因子被显式构造为 F-局部本地鞅贴现因子与来自 τ 的 Azéma 上鞅乘法分解的乘法因子的乘积。
• 该乘法因子自然源自与停时 τ 相关的 Azéma 上鞅的半鞅分解。
• 所建立的理论框架使得能够从可观测的市场数据中推断过滤扩张设定。
• 研究结果为在过滤扩张下验证违约强度模型中局部本地鞅贴现因子的存在性提供了系统化方法。
• 分析揭示了局部本地鞅贴现因子、过滤扩张与 Azéma 上鞅在信用风险建模中相互作用的新见解。