[论文解读] Local max-cut in smoothed polynomial time

Bitansky, Nir, Gerichter, Idan|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 1

一句话总结

本文证明了局部最大割问题在平滑多项式时间复杂度下具有可解性，即在边权受到小范围随机扰动时，FLIP 算法以高概率在多项式时间内找到局部最大值。该结果解决了长期悬而未决的开放问题，表明即使在最坏情况下可能需要指数时间，局部搜索求解最大割问题仍显著快于求解 NP 难的全局优化问题。

ABSTRACT

In 1988, Johnson, Papadimitriou and Yannakakis wrote that "Practically all the empirical evidence would lead us to conclude that finding locally optimal solutions is much easier than solving NP-hard problems". Since then the empirical evidence has continued to amass, but formal proofs of this phenomenon have remained elusive. A canonical (and indeed complete) example is the local max-cut problem, for which no polynomial time method is known. In a breakthrough paper, Etscheid and Röglin proved that the smoothed complexity of local max-cut is quasi-polynomial, i.e., if arbitrary bounded weights are randomly perturbed, a local maximum can be found in $n^{O(\log n)}$ steps. In this paper we prove smoothed polynomial complexity for local max-cut, thus confirming that finding local optima for max-cut is much easier than solving it.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：局部最大割问题是否能在平滑多项式时间内求解。
• 形式化描述局部搜索算法（如 FLIP）在实践中通常能快速收敛的经验观察，尽管其最坏情况时间复杂度为指数级。
• 建立随机扰动边权（甚至包括非边）可导致 FLIP 算法高效收敛的理论基础。
• 将单纯形算法的平滑分析技术拓展至局部最大割问题，该问题是典型的 PLS-完全问题。
• 为纳什均衡、霍普菲尔德网络和政党归属博弈等实际问题中局部搜索表现出的效率提供理论依据。

提出的方法

• 采用平滑分析方法，将边权建模为具有有界概率密度的随机变量，分析 FLIP 算法的期望运行时间。
• 应用负相关性和广义切尔诺夫不等式，控制 FLIP 过程中长改善序列发生的概率。
• 构建一个概率框架，将每次顶点翻转建模为一次随机改善操作，并界定向此类操作的期望次数。
• 采用移动序列的分块分解方法，分析重复模式并界定向重复翻转的次数。
• 利用哈密顿函数 H(σ) = −1/2 ∑ Xuv σ(u)σ(v) 的结构，分析顶点翻转过程中的能量增加。
• 在负相关事件上应用集中不等式，表明在随机扰动下，长序列的改善操作发生的可能性极低。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部最大割问题是否能在平滑多项式时间内求解，即当边权受到小范围随机扰动时，FLIP 算法是否以高概率在多项式时间内终止？
• RQ2 尽管已知存在指数级最坏情况复杂度，为何局部搜索算法（如 FLIP）在实践中表现良好？
• RQ3 当所有顶点对（包括非边）均受到小范围随机噪声扰动时，局部最大割的平滑复杂度是否显著改善？
• RQ4 能否将单纯形算法平滑分析中使用的技术适配到其他 PLS-完全问题（如局部最大割）？
• RQ5 负相关性在局部搜索动力学中随机改善序列分析中起到何种作用？

主要发现

• 当所有边权受到小范围随机扰动时，FLIP 算法以高概率在平滑多项式时间内找到最大割问题的局部最大值。
• 局部最大割的平滑复杂度被界为 poly(n) · ϕ^O(log n)，其中 ϕ 是扰动分布密度的上界。
• FLIP 算法运行时间超过多项式时间的概率至多为 o_n(1)，即其以高概率成功。
• 分析表明，由于选择过程中的负相关性，长序列的改善操作发生的可能性呈指数级下降。
• 该结果证实，在平滑分析下，局部最大割问题显著优于 NP 难的全局最大割问题。
• 所构建的分析框架可推广至 PLS 复杂度类中的其他问题，如纳什均衡和霍普菲尔德网络动力学。