[论文解读] Local Minimizers of the Ginzburg-Landau Functional with Prescribed Degrees

Mickaël Dos Santos|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文证明了在平面上具有多个孔洞的区域中，对于每个边界分量指定特定度数的情况下，Ginzburg-Landau泛函存在局部极小值。通过基于扰动的测试函数构造方法，并利用截断函数和调和延拓控制能量，作者将Berlyand与Rybalko在单孔区域中的结果推广至多孔区域，证明了当 $\varepsilon$ 足够小时，对任意有限个孔洞，局部极小值均存在。

ABSTRACT

We consider, in a smooth bounded multiply connected domain $\dom\subset\R^2$, the Ginzburg-Landau energy $\d E_\v(u)=1/2\int_\dom{| u|^2}+\frac{1}{4\v^2}\int_\dom{(1-|u|^2)^2}$ subject to prescribed degree conditions on each component of $\p\dom$. In general, minimal energy maps do not exist \cite{BeMi1}. When $\dom$ has a single hole, Berlyand and Rybalko \cite{BeRy1} proved that for small $\v$ local minimizers do exist. We extend the result in \cite{BeRy1}: $\d E_\v(u)$ has, in domains $\dom$ with $2,3,...$ holes and for small $\v$, local minimizers. Our approach is very similar to the one in \cite{BeRy1}; the main difference stems in the construction of test functions with energy control.

研究动机与目标

• 解决在具有指定拓扑度数的多连通区域中全局极小值不存在的问题。
• 将Berlyand与Rybalko关于单孔区域中局部极小值的结果推广至多孔区域。
• 构造具有可控能量、且在每个边界分量上实现指定度数的测试函数。
• 证明当 $\varepsilon$ 较小时，对于多连通区域中每个边界分量具有固定度数的映射类中，局部极小值存在。

提出的方法

• 通过在基映射上乘以在 $L^2$ 范数下接近1且有界于2的截断函数 $N_{\eta}$ 来构造测试函数。
• 采用逐步扰动过程，通过局部能量估计，逐个边界分量将度数调整 $\pm 1$。
• 应用关键引理（引理5）控制在单个边界分量上将度数改变 $\pm 1$ 时的能量增加，证明其有界于 $\pi + \eta$。
• 利用调和延拓和幂级数展开估计映射在边界分量附近及环形区域内的行为。
• 使用控制收敛定理确保当 $\eta \to 0$ 时，扰动后的映射在 $L^2$ 范数下收敛于原映射，从而保持弱收敛性质。
• 通过望远镜求和方法结合多个边界分量的能量估计，证明总能量增加被控制在 $\pi \sum |\delta_i| + \eta$ 以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小 $\varepsilon$ 条件下，对于每个边界分量指定度数的多连通区域中，Ginzburg-Landau泛函是否存在局部极小值？
• RQ2 当逐次将单个边界分量上的度数调整 $\pm 1$ 时，能量增加是否可统一控制？
• RQ3 在每个边界分量上具有固定度数的映射类是否关于弱 $H^1$-收敛封闭？若不封闭，如何仍能构造局部极小值？
• RQ4 当在边界分量上改变度数时，能量的渐近行为如何？该行为能否与 $\varepsilon$ 无关地有界？
• RQ5 如何构造一列具有指定度数且能量受控的映射，使其在 $L^2$ 范数下收敛于给定映射？

主要发现

• 对于任意有界、光滑的多连通区域 $\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^2$ 且具有 $N \geq 2$ 个孔洞，当 $\varepsilon > 0$ 足够小时，Ginzburg-Landau泛函存在局部极小值。
• 在单个边界分量上将度数改变 $\pm 1$ 时，能量增加被控制在 $\pi + \eta$ 以内，对任意 $\eta > 0$ 成立，且该界与 $\varepsilon$ 无关。
• 可构造一列映射 $u_{\eta}^\delta$，使得 $E_\varepsilon(u_{\eta}^\delta) \leq E_\varepsilon(u) + \pi \sum_{i=0}^N |\delta_i| + \eta$，且当 $\eta \to 0$ 时 $\|u - u_{\eta}^\delta\|_{L^2} \to 0$，从而保证 $L^2$ 收敛。
• 该构造依赖于将原映射乘以一族有界且在 $L^2$ 范数下收敛的截断函数 $N_\eta$，这些函数可在局部调整度数，而不会显著增加能量。
• 通过将区域分解并独立处理每个边界分量，该方法将Berlyand与Rybalko在单孔区域中的结果推广至多孔区域。
• 结果表明，尽管约束集不具备紧致性，但当 $\varepsilon$ 较小时，指定度数的拓扑约束并不会阻止局部极小值的存在。