[论文解读] Local mixing and invariant measures for horospherical subgroups on abelian covers

Hee Oh, Wenyu Pan|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 55被引用 4

一句话总结

本文建立了闭双曲3-流形的阿贝尔覆叠上框架流的局部混合性质，并对 $H$-不变测度在 $\Gamma\backslash G$ 上进行分类，其中 $G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$，$\Gamma_0 < G$ 是强双曲且在代数群中稠密，$\Gamma \triangleleft \Gamma_0$ 是一个正规子群，满足 $\Gamma_0/\Gamma \cong \mathbb{Z}^d$。关键结果是关于闭测地线的精确渐近计数公式以及在 $\Gamma\backslash G$ 中全息的等分布性，其归一化涉及临界指数 $\delta$ 和 $d$-维体积增长。

ABSTRACT

Abelian covers of hyperbolic $3$-manifolds are ubiquitous. We prove the local mixing theorem of the frame flow for abelian covers of closed hyperbolic $3$-manifolds. We obtain a classification theorem for measures invariant under the horospherical subgroup. We also describe applications to the prime geodesic theorem as well as to other counting and equidistribution problems. Our results are proved for any abelian cover of a homogeneous space $Γ_0\backslash G$ where $G$ is a rank one simple Lie group and $Γ_0

研究动机与目标

• 建立闭双曲3-流形的阿贝尔覆叠上框架流的局部混合性质，由于无限体积导致强混合性失效。
• 对水平子群 $H$ 在 $\Gamma\backslash G$ 上的 $H$-不变Radon测度进行分类，扩展Babillot、Ledrappier和Sarig的结果。
• 推导出在 $\Gamma$ 为强双曲格 $\Gamma_0$ 的正规 $\mathbb{Z}^d$-覆叠时，闭测地线的渐近计数公式以及在 $\Gamma\backslash G$ 中全息的等分布性。
• 将结果应用于素测地定理及其他双曲几何与数论中的计数与等分布问题。

提出的方法

• 通过右平移由一参数子群 $a_t$ 定义归一化测度族 $\mu_t$，并在乘以 $\alpha(t) \sim t^{d/2} e^{-\delta t}$ 后分析其弱极限。
• 利用Patterson-Sullivan测度和极限集的几何结构，在 $\Gamma\backslash G$ 上构造一个极限Radon测度 $\mathsf{m}$，其密度沿流方向与 $e^{\delta t} t^{d/2}$ 成比例。
• 使用Iwasawa分解 $G = H A^+ K$，将极限测度 $\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}$ 表示为在 $A^+K$ 上对 $H$-不变测度与极限集上 $\delta$-维Hausdorff测度的积分。
• 引入 $H\backslash G$ 中的‘良好圆化族’$\{B_T\}$ 的概念，使得 $\mathcal{M}(B_T) \to \infty$，且 $B_{T,\epsilon}^+ \setminus B_{T,\epsilon}^-$ 的相对测度趋于零，从而确保等分布性。
• 通过将 $\Gamma$-轨道在圆和闭测地线上的计数与 $\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}(B_T)$ 的增长联系起来，利用谱间隙和矩阵系数的衰减性，证明其等分布性。
• 应用局部混合性质，推导出闭测地线与其全息类的联合等分布性，其渐近密度与 $e^{\delta T}/(T^{d/2} \delta)$ 成正比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在闭双曲3-流形的阿贝尔覆叠上，尽管由于无限体积导致强混合性失效，框架流是否仍表现出局部混合性质？
• RQ2 当 $\Gamma$ 是强双曲格 $\Gamma_0$ 的正规 $\mathbb{Z}^d$-覆叠时，水平子群 $H$ 在 $\Gamma\backslash G$ 上的 $H$-不变Radon测度的结构是什么？
• RQ3 能否为这类覆叠中长度 $\leq T$ 的闭测地线数量获得一个渐近计数公式，且显式依赖于临界指数 $\delta$ 和秩 $d$？
• RQ4 闭测地线的全息在紧致对偶空间 $M^\textsc{c}$ 中如何等分布，其收敛速度如何？
• RQ5 在 $\mathbb{Z}^d$-覆叠作用下，复平面上 $\Gamma$-轨道的圆的渐近分布是什么，其与极限集的Hausdorff测度有何关联？

主要发现

• 对于任意阿贝尔覆叠 $\Gamma\backslash G$，其中 $\Gamma_0 < G = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 是强双曲且在代数群中稠密的格，局部混合性质成立，其缩放函数为 $\alpha(t) \sim t^{d/2} e^{-\delta t}$，且在 $\Gamma\backslash G$ 上存在极限测度 $\mathsf{m}$。
• 在 $\Gamma\backslash\tilde{X}$ 中长度 $\leq T$ 的闭测地线数量满足 $\#\mathcal{G}_\Gamma(T) \sim \frac{e^{\delta T}}{(2\pi\sigma)^{2/d} \delta T^{d/2}} \cdot \mathsf{m}^{\operatorname{BMS}}(\psi) \cdot \int_M \xi \, dm$，显式依赖于 $d$ 和 $\delta$。
• 建立了闭测地线与其全息类的联合等分布性：在 $\Gamma\backslash G/M \times M^\textsc{c}$ 上的计数测度 $\mu_T$ 收敛到密度为 $\sim e^{\delta T}/(T^{d/2} \delta)$ 的乘积测度。
• 对于在圆空间中具有离散像的 $\Gamma$-轨道圆 $C_0$，与曲率 $\leq T$ 的紧集 $E$ 相交的圆的数量以 $c \cdot T^\delta / (\log T)^{d/2} \cdot \operatorname{H}^\delta(E)$ 的速度增长，其中 $\operatorname{H}^\delta$ 是极限集的 $\delta$-维Hausdorff测度。
• $H\backslash G$ 上的测度 $\mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}$ 是良定义的且在紧集上有限，其显式积分公式涉及 $e^{\delta t} t^{d/2}$ 和极限集上的 $\delta$-Hausdorff测度。
• 对 $\{B_T\}$ 的良好圆化性条件确保 $\#\Gamma \cap B_T \sim \mathcal{M}_{\Gamma,H\backslash G}(B_T)$，从而为 $H\backslash G$ 中的计数提供了精确渐近公式。