[论文解读] Local P-shtukas and their relation to global G-shtukas

Esmail M. Arasteh Rad, Urs Hartl|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 22

一句话总结

本文建立了全局 G-shtuka（希米乌拉簇的函数域类比）与局部 P-shtuka 之间的基础联系，后者是带有额外结构的 p-可除群的推广。论文证明了一个类 Serre–Tate 的定理，表明全局 G-shtuka 的形变与它们对应的局部 P-shtuka 的形变等价，并将有界局部 P-shtuka 的 Rapoport–Zink 空间构作为局部形式有限型的正式概形，从而在后续工作中实现了全局 G-shtuka 模堆的统一化。

ABSTRACT

This is the first in a sequence of two articles investigating moduli stacks of global G-shtukas, which are function field analogs for Shimura varieties. Here G is a flat affine group scheme of finite type over a smooth projective curve, and global G-shtukas are generalizations of Drinfeld shtukas and analogs of abelian varieties with additional structure. Our moduli stacks generalize various moduli spaces used by different authors to prove instances of the Langlands program over function fields. In the present article we explain the relation between global G-shtukas and local P-shtukas, which are the function field analogs of p-divisible groups with additional structure. We prove the analog of a theorem of Serre and Tate stating the equivalence between the deformations of a global G-shtuka and its associated local P-shtukas. We also investigate local P-shtukas alone and explain their relation with Galois representations through their Tate modules. And if P is a smooth affine group scheme with connected reductive generic fiber we prove the existence of Rapoport--Zink spaces for bounded local P-shtukas as formal schemes locally formally of finite type. In the sequel to this article we use these Rapoport--Zink spaces to uniformize the moduli stacks of global G-shtukas.

研究动机与目标

• 建立全局 G-shtuka 与局部 P-shtuka 之间的精确对应关系，推广 p-可除群在 p-进霍奇理论中的作用。
• 证明函数域中 Serre–Tate 定理的类比，将全局 G-shtuka 的无穷小形变与其对应局部 P-shtuka 的形变联系起来。
• 将有界局部 P-shtuka 的 Rapoport–Zink 空间构作为局部形式有限型的正式概形，扩展经典的 p-进统一化理论。
• 为利用局部 P-shtuka 形变空间统一化全局 G-shtuka 模堆提供框架，作为实现函数域上朗兰兹互反律的关键步骤。

提出的方法

• 引入局部 P-shtuka 作为包含 L+Pν-挠子丛与 Frobenius 旋转同构 ˆτ: ˆσ∗L → L 的元组 (L+, ˆτ)，推广德林费尔德的 shtuka。
• 发展一个全局-局部函子，将定义在 NilpAν 中概形上的全局 G-shtuka 映射为在特征性点 νi 处的局部 Pνi-shtuka n 元组。
• 应用广义的 Beauville–Laszlo 胶合引理，在形式完备化上构造全局-局部对应关系。
• 证明无界 Rapoport–Zink 函子在 Spf k[[ζ]] 上由 ind-概形表示，并通过霍奇多边形控制建立有界性条件。
• 利用 ˆτ 下 ˆσ∗L+ 与 L+ 的相对位置的公理化有界性，定义有界局部 P-shtuka。
• 借鉴 Rapoport–Zink 和 Hartl 的技巧，证明有界 Rapoport–Zink 函子由 Spf k[[ζ]] 上局部形式有限型的正式概形表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 全局 G-shtuka 与其在特征性点处的关联局部 P-shtuka 之间有何关系？
• RQ2 是否存在全局 G-shtuka 的形变理论与它们对应的局部 P-shtuka 的形变理论之间的类 Serre–Tate 等价？
• RQ3 有界局部 P-shtuka 的 Rapoport–Zink 空间能否作为局部形式有限型的正式概形构造？
• RQ4 Tate 模在连接局部 P-shtuka 与伽罗瓦表示中起什么作用？
• RQ5 如何利用局部 P-shtuka 形变空间统一化全局 G-shtuka 模堆？

主要发现

• 全局 G-shtuka 与其关联的 n 个局部 Pνi-shtuka 的形变函子彼此等价，将经典 Serre–Tate 定理推广至函数域情形。
• 局部 Pν-shtuka 的无界 Rapoport–Zink 函子由 ind-概形表示，当 L+Pν-挠子丛平凡时，具体同构于 FℓPν b×Fν Spf Fν[[ζ]]。
• 对于具有连通约化李群通项的光滑 Pν，有界 Rapoport–Zink 函子由 Spf k[[ζ]] 上局部形式有限型的正式概形表示，如定理 4.18 所证。
• 有界局部 P-shtuka 的 Rapoport–Zink 空间构造为后续统一化全局 G-shtuka 模堆提供了关键技术工具。
• 局部 P-shtuka 的 Tate 模产生伽罗瓦表示，建立了局部 P-shtuka 几何与朗兰兹纲领之间的联系。
• 本研究为通过全局 G-shtuka 模堆的上同调实现函数域上的朗兰兹互反律奠定了基础。