[论文解读] Local points on P-adically uniformized Shimura varieties

Bruce W. Jordan, Ron Livné+1 more|ArXiv.org|Apr 26, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文利用 $p$-进一致化和类域论，确定了某些 $p$-进一致化 Shimura 品面在哪些局部域上具有有理点。证明了对于特定的 Shimura 曲线，其雅可比簇在 [PS] 意义下是偶的，通过分析亏欠素数和数域上的 Hilbert 符号，确立了关键的算术性质。

ABSTRACT

Using the p-adic uniformization of Shimura varieties we determine, for some of them, over which local fields they have rational points. Using this we show in some new curve cases that the jacobians are even in the sense of Poonen and Stoll.

研究动机与目标

• 确定某些 $p$-进一致化 Shimura 品面在哪些局部域上具有有理点。
• 将局部点理论扩展至 Shimura 曲线具有良好约化之外的情形，特别是约化为坏的情形。
• 研究 Shimura 曲线雅可比簇的算术性质，特别是其是否在 [PS] 意义下为偶。
• 分析 $p$-进一致化、类域论与 Shimura 品面有理点存在性之间的相互作用。
• 利用 Hilbert 符号和局部类域论，建立亏欠素数（无穷和有限）个数为偶数的条件。

提出的方法

• 通过 Drinfel'd 理论以及 Čerednik 和 Rapoport–Zink 的结果，使用 $p$-进一致化方法研究 Shimura 品面。
• 应用 $p$-进一致化理论，将局部点的存在性问题约化为局部域上某些四元数代数的可解性。
• 利用类域论和 Hilbert 符号 $(-1, -\theta)_{v}$ 分析四元数代数在 $F$ 的素点上的分裂行为。
• 分析群 $W \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$ 在曲线 $X$ 上的作用，其中 $r$ 为四元数代数判别式中的有限素点个数。
• 使用 Riemann–Hurwitz 公式将 $X$ 的亏格与商曲面 $X/W$ 的亏格联系起来，校正项依赖于 $W$ 的不动点。
• 应用亏格理论和 Hilbert 符号的乘积公式，确定亏欠素数个数为偶数的条件，特别关注剩余特征为 2 的素点和无穷素点。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些局部域上，$p$-进一致化 Shimura 品面具有有理点？
• RQ2 在何种条件下，Shimura 曲线的亏欠无穷素数和有限素数个数为偶数？
• RQ3 何时 Shimura 曲线的雅可比簇在 [PS] 意义下为偶？
• RQ4 四元数代数 $B(-1, -\theta)$ 在 $F$ 的素点上的分裂行为如何与亏欠素数的奇偶性相关？
• RQ5 Hilbert 符号 $(-1, -\theta)_v$ 在确定局部点存在性和雅可比簇偶性方面起什么作用？

主要发现

• Shimura 品面 $X$ 的无穷亏欠素数个数为偶数，当且仅当 $(-1, -\theta)_{F_{\frak{P}}}=1$，其中 $\theta$ 是素理想 $\frak{P}^{k_+}$ 的全正生成元。
• 有限相关亏欠素数个数为偶数，当且仅当对所有剩余特征为 2 的素点 $\frak{Q}$，有 $(-1, -\theta)_{F_{\frak{Q}}}=1$。
• 当 $m \equiv 5 \pmod{8}$ 时，相关亏欠素数个数为偶数，意味着雅可比簇为偶。
• 若 $m \equiv 1 \pmod{8}$ 且 $p$ 是 $F$ 中关于 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 的有理素数，则相关亏欠素数个数为奇数。
• 当四元数代数的判别式恰好包含一个有限素点（即 $r=1$）时，曲线 $X$ 的亏格为奇数，当且仅当亏欠素数个数为奇数；若亏欠素数个数为偶数，则雅可比簇为偶。
• 定理结论指出：当 $r \geq 3$ 时，亏格 $g(X)$ 为奇数，因此雅可比簇 $\operatorname{Jac}(X)$ 为偶；当 $r=1$ 时，通过显式分析在 2 上方的素点和无穷素点处的 Hilbert 符号，确立了雅可比簇的偶性。