[论文解读] Local Points on Quadratic Twists of X_0(N)

Ekin Özman|ArXiv.org|Nov 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文给出了模曲线 $X_0(N)$ 的二次扭 $X^d(N)$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 上存在有理点的必要且充分条件，解决了 Ellenberg 关于处处局部点存在的问题。研究发现，对于不同时在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ 中分歧的奇素数 $p$，局部点的存在性精确取决于 $N$ 和 $d$ 的特定同余与分裂条件；并表明某些处处具有局部点但无全局有理点的曲线违反了 Hasse 原理，且该违反可由 Brauer-Manin 障碍解释。

ABSTRACT

Let X^d(N) be the quadratic twist of the modular curve X_0(N) through the Atkin-Lehner involution w_N and a quadratic extension Q(\sqrt{d})/Q. The points of X^d(N)(Q) are precisely the Q(\sqrt{d})-rational points of X_0(N) that are fixed by σcomposition w_N, where σis the generator of Gal(Q(\sqrt{d})/Q).Ellenberg asked the following question: For which d and N does X^d(N) have rational points over every completion of Q? Given (N,d,p) we give necessary and sufficient conditions for the existence of a Q_p-rational point on X^d(N), whenever p is not simultaneously ramified in Q(\sqrt{d}) and Q(\sqrt{-N}), answering Ellenberg's question for all odd primes p when (N,d)=1. The main theorem yields a population of curves which have local points everywhere but no points over Q; in several cases we show that this obstruction to the Hasse Principle is explained by the Brauer-Manin obstruction.

研究动机与目标

• 回答 Ellenberg 关于二次扭 $X^d(N)$ 在 $\mathbb{Q}$ 的每个完备化上何时具有有理点的问题。
• 在没有任何素数同时在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ 中分歧的条件下，刻画 $X^d(N)$ 在所有素数 $p$ 上 $\mathbb{Q}_p$-有理点的存在性。
• 识别那些在处处具有局部点但无全局有理点的曲线，并确定此类 Hasse 原理的失败是否可由 Brauer-Manin 障碍解释。
• 扩展并统一关于 $X_0(N)$ 扭曲的局部点的先前结果，特别是在 $\mathbb{Q}$-曲线和模曲线的背景下。

提出的方法

• 使用 Atkin-Lehner 对合与平展下降理论，在 $\mathbb{Q}$ 上定义 $X_0(N)$ 的二次扭 $X^d(N)$。
• 将 $X^d(N)$ 上的 $\mathbb{Q}$-有理点与 $X_0(N)$ 上在 $\sigma \circ w_N$ 下固定的 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$-有理点对应起来，其中 $\sigma$ 生成 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q})$。
• 对 $p$ 整除 $N$ 且 $p$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中为惰素的情况，应用 Hensel 引理分析 $\mathbb{Q}_p$-点。
• 利用复乘椭圆曲线理论，在 $p$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中分歧且 $p \nmid N$ 时构造 $\mathbb{Q}_p$-点。
• 使用 Scharaschkin 方法并借助 Magma 中的计算，分析雅可比簇的 Mordell-Weil 群，排除特定情况下的有理点。
• 应用 $L$-函数函数方程的 Weil 公式，推导出某些雅可比簇是简单的，且无非平凡的秩为 0 的商簇，从而排除 Mazur 风格的方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些整数 $d$ 和无平方因子的 $N$，二次扭 $X^d(N)$ 对每个素数 $p$ 都具有 $\mathbb{Q}_p$-有理点？
• RQ2 在什么条件下 $X^d(N)$ 处处具有局部点但无 $\mathbb{Q}$ 上的全局有理点？
• RQ3 此类曲线的 Hasse 原理失败是否可由 Brauer-Manin 障碍解释？
• RQ4 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt{-N})$ 中 $p$ 的分歧行为如何影响局部点的存在性？
• RQ5 $X^d(N)$ 的雅可比簇的 Mordell-Weil 群结构如何，以及它如何影响有理点的存在性？

主要发现

• 对于在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中为惰素的奇素数 $p$ 且整除 $N$ 的情况，$X^d(N)$ 具有 $\mathbb{Q}_p$-点当且仅当 $N = p \prod q_i$ 且 $p \equiv 3 \pmod{4}$，所有 $q_i \equiv 1 \pmod{4}$，或 $N = 2p \prod q_i$ 且满足相同的同余条件。
• 当 $2$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中为惰素且整除 $N$ 时，$\mathbb{Q}_2$-点存在当且仅当 $N = 2 \prod q_i$ 且所有 $q_i \equiv 1 \pmod{4}$。
• 对于在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中分歧且不整除 $N$ 的奇素数 $p$，$\mathbb{Q}_p$-点存在当且仅当 $p$ 属于命题 5.5 中定义的特定有限集合 $S$。
• $X^{17}(23)$ 曲线处处具有局部点但无 $\mathbb{Q}$-有理点，且该 Hasse 原理的失败可由 Brauer-Manin 障碍解释。
• 对于 $d \in \{-223, -211, -59, 101, 173\}$，$X^d(23)$ 的雅可比簇具有平凡挠子群和秩 0，意味着 $X^d(23)(\mathbb{Q}) = \emptyset$。
• $X^{17}(23)$ 的雅可比簇是简单的，秩为 2，$q$-展开系数属于 $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$，且相关的新形式是自共轭的，确认了不存在非平凡的同源因子。