[论文解读] Local Problems on Grids from the Perspective of Distributed Algorithms, Finitary Factors, and Descriptive Combinatorics

Jan Grebík, Václav Rozhoň|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Data Management and Algorithms被引用 5

一句话总结

本文通过研究d维网格上的局部问题，建立了一个统一框架，将分布式算法、i.i.d.过程的有限因子以及描述性组合数学联系起来。它在有限因子设定下证明了时间层次定理，解决了关于ffiid复杂度的开放问题，并表明均匀局部复杂度类如UL0CAL(O(log* 1/ε))严格包含于有限依赖过程之中，推动了这些领域中局部性理论的发展。

ABSTRACT

We present an intimate connection among the following fields: (a) distributed local algorithms: coming from the area of computer science, (b) finitary factors of iid processes: coming from the area of analysis of randomized processes, (c) descriptive combinatorics: coming from the area of combinatorics and measure theory. In particular, we study locally checkable labellings in grid graphs from all three perspectives. Most of our results are for the perspective (b) where we prove time hierarchy theorems akin to those known in the field (a) [Chang, Pettie FOCS 2017]. This approach that borrows techniques from the fields (a) and (c) implies a number of results about possible complexities of finitary factor solutions. Among others, it answers three open questions of [Holroyd et al. Annals of Prob. 2017] or the more general question of [Brandt et al. PODC 2017] who asked for a formal connection between the fields (a) and (b). In general, we hope that our treatment will help to view all three perspectives as a part of a common theory of locality, in which we follow the insightful paper of [Bernshteyn 2020+] .

研究动机与目标

• 将分布式算法、i.i.d.过程的有限因子以及描述性组合数学三个视角统一于一个共同的局部性理论之下。
• 解决关于有限因子解复杂度的开放问题，特别是Holroyd、Schramm和Wilson（2017）以及Brandt等人（2017）提出的问题。
• 建立分布式计算与有限因子构造之间的正式联系，尤其是通过TOAST和RTOAST框架。
• 分析分布式与集中式模型中的均匀局部复杂度，表明即使最坏情况复杂度为对数级，平均情况复杂度也可以为常数。

提出的方法

• 将分布式算法中的技术——特别是回合消除和局部性层次结果——应用于无限网格上有限因子解的分析。
• 引入TOAST和RTOAST框架作为随机构造方法，生成具有有限依赖性的解，从而实现复杂度分析。
• 使用均匀局部复杂度的概念来分析不依赖于全局信息（如n）的算法，将其与平均情况和摊还复杂度联系起来。
• 应用描述性组合数学中的结果，如Borel解和可测解，以刻画Z^d上局部问题的复杂度。
• 利用有限依赖过程的概念，证明某些问题（如3-染色）不在FINDEP中，从而暗示严格层次结构的存在。
• 利用分布式算法与有限因子之间的等价性，将复杂度结果在不同领域之间转移，特别是通过t跳邻域映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 Brandt等人（2017）所猜想的分布式算法与i.i.d.过程的有限因子之间是否存在正式联系？
• RQ2 能否在有限因子设定下建立类似于LOCAL模型中的时间层次定理？
• RQ3 有限依赖过程类是否严格包含于TOAST过程类中，还是两者相等？
• RQ4 d维网格上3-染色的均匀局部复杂度是多少？是否可以优于(1/ε) · 2^{O(√log(1/ε))}？
• RQ5 网格上局部问题的均匀复杂度是否表现出中间增长速率，例如Θ((1/ε)^{1/r})（其中r非整数）？

主要发现

• 本文在有限因子设定下证明了时间层次定理，表明对每个t，都存在一个可在t轮内解决但不能在o(t)轮内解决的局部问题。
• 建立了UL0CAL(O(log* 1/ε)) ⊆ FINDEP ⊆ UL0CAL((1/ε)^{1+o(1)})，展示了有限因子解内部的严格层次结构。
• 解决了开放问题，证明了在d > 1时，d维网格上的3-染色问题不在FINDEP中，确认了Holroyd、Schramm和Wilson（2017）的结果。
• 本文表明，网格上3-染色的均匀复杂度为(1/ε) · 2^{O(√log(1/ε))}，且该界可能可改进为1/ε的多对数级别。
• 本文证明了在分布式和LCA模型中，即使最坏情况复杂度为对数级，平均情况复杂度也可以为常数，这是由于算法设计中的统一性所致。
• 它表明，在LCA模型中，对于Δ+1染色和LLL等问题，摊还查询复杂度为常数，使用了Linial算法的统一版本。