[论文解读] Local Rigidity for Cocycles

David Fisher, G. A. Margulis|ArXiv.org|Mar 19, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 6

一句话总结

本论文建立了与高余维半单代数群及其子群格相关的上同调的局部刚性，证明了常值上同调的连续或 $L^\infty$-小扰动，可连续共轭于原始上同调，模去一个值在紧致子群中的小上同调。关键贡献在于通过在小扰动下以连续共轭替代可测共轭，强化了Zimmer的上同调超刚性定理，其应用涵盖仿射与拟仿射作用。

ABSTRACT

In this paper we study perturbations of constant cocycles for actions of higher rank semi-simple algebraic groups and their lattices. Roughly speaking, for ergodic actions, Zimmer's cocycle superrigidity theorems implies that the perturbed cocycle is measurably conjugate to a constant cocycle modulo a compact valued cocycle. The main point of this article is to see that a cocycle which is a continuous perturbation of a constant cocycle is actually continuously conjugate back to the original constant cocycle modulo a cocycle that is continuous and "small". We give some applications to perturbations of standard actions of higher rank semisimple Lie groups and their lattices. Some of the results proven here are used in our proof of local rigidity for affine and quasi-affine actions of these groups. We also improve and extend the statements and proofs of Zimmer's cocycle superrigidity.

研究动机与目标

• 建立高余维半单代数群及其子群格作用下上同调的局部刚性，针对小扰动情形。
• 通过在小扰动下以连续共轭替代可测共轭，强化Zimmer的上同调超刚性定理。
• 证明扰动后的上同调可通过一个连续且 $L^\infty$-小的共轭映射，共轭于常值上同调，模去一个紧致值上同调。
• 将结果应用于这些群的标准、仿射及拟仿射作用的扰动。
• 将上同调超刚性定理的适用范围扩展至非阿基米德局部域，并且无需经过有限遍历扩张。

提出的方法

• 通过连续同态 $\pi_0: G \to L$ 或 $\pi_0: \Gamma \to L$ 定义常值上同调 $\alpha_{\pi_0}$。
• 考虑一个Borel上同调 $\alpha$，其与 $\alpha_{\pi_0}$ 在 $L^\infty$ 范数下接近，代表常值上同调的小扰动。
• 构造一个可测共轭映射 $\phi: S \to L$，使得 $\alpha(g,x) = \phi(gx)^{-1} \pi_0(g) z(g,x) \phi(x)$，其中 $\phi$ 在 $L^\infty$ 范数下很小。
• 证明所得上同调 $z$ 在 $L^\infty$ 范数下接近平凡上同调，并且可测共轭于取值于单位元附近紧致子群的上同调。
• 若作用与上同调在局部紧空间上连续且具有满支撑，则可选择 $\phi$ 与 $z$ 为连续函数。
• 将结果应用于斜积与仿射作用，通过将作用提升至万有覆盖并利用群扩张定义相关上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 高余维半单群作用下，常值上同调的 $L^\infty$-小扰动是否可连续共轭回原始上同调？
• RQ2 在小扰动下，Zimmer上同调超刚性定理中的可测共轭在多大程度上可改进为连续共轭？
• RQ3 上同调超刚性定理是否可扩展至非阿基米德局部域，而无需经过有限遍历扩张？
• RQ4 映射 $\pi_0$ 的像的中心化子如何影响扰动上同调及其共轭类的结构？
• RQ5 紧致正规子群在扰动上同调的共轭类中起什么作用？

主要发现

• 若上同调 $\alpha$ 在 $L^\infty$ 范数下接近常值上同调 $\alpha_{\pi_0}$，则 $\alpha$ 可连续共轭于 $\alpha_{\pi_0}$，模去一个在 $L^\infty$ 范数下接近平凡上同调的上同调 $z$。
• 共轭映射 $\phi$ 在 $L^\infty$ 范数下很小，且若作用与上同调在局部紧空间上连续且具有满支撑，则可选择 $\phi$ 为连续函数。
• 扰动上同调 $z$ 可测共轭于取值于包含在单位元附近小邻域内的紧致子群 $C$ 的上同调。
• 当 $k$ 为阿基米德域时，紧致值上同调 $z$ 可测共轭于平凡上同调，表明更强的刚性。
• 通过利用同态 $\pi: \Gamma \to L$ 到代数群的超刚性，结果可推广至子群格 $\Gamma < G$。
• 该框架适用于仿射与拟仿射作用，且结果被用于证明此类作用的局部刚性。