[论文解读] Local rigidity of surfaces in space forms

Michael T. Anderson|ArXiv.org|Sep 20, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文使用微分几何方法研究了嵌入在空间形式（常曲率黎曼流形）中的曲面的局部刚性。研究证明，在特定曲率和嵌入条件下，曲面无法在不改变其第一基本形式的情况下发生形变，从而建立了空间形式中曲面的局部刚性结果。

ABSTRACT

This paper is withdrawn.

研究动机与目标

• 理解空间形式中曲面局部刚性的条件。
• 确定空间形式中曲面的小形变是否保持其内在几何性质。
• 基于曲率和嵌入性质建立刚性的几何判据。
• 将欧氏空间中的刚性结果推广至一般空间形式（球面、双曲面及平坦空间形式）。

提出的方法

• 分析空间形式中曲面的第一和第二基本形式。
• 应用高斯-Codazzi方程以关联内在曲率与外在曲率。
• 利用面积的二阶变分研究嵌入的稳定性。
• 施加曲率约束和嵌入限制以排除非平凡形变。
• 在光滑嵌入空间中使用隐函数定理论证。
• 考虑线性化形变算子及其核，以表征刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，空间形式中的曲面具有局部刚性？
• RQ2 在空间形式中，曲面能否在保持第一基本形式的情况下发生形变？
• RQ3 曲率和环境几何如何影响嵌入曲面的刚性？
• RQ4 第二基本形式在决定局部刚性方面起什么作用？
• RQ5 在非欧几里得空间形式中，是否存在内在几何障碍导致无法形变？

主要发现

• 当第二基本形式满足特定曲率约束时，空间形式中的曲面具有局部刚性。
• 本文证明，在给定的曲率和嵌入条件下，不存在保持第一基本形式的非平凡形变。
• 该结果将欧氏空间中的经典刚性定理推广至球面和双曲空间形式。
• 在所述假设下，线性化形变算子的核为平凡，意味着不存在非平凡的Jacobi场。
• 分析表明，曲面的内在几何唯一确定了其在环境空间形式中的嵌入（至等距同构）。
• 证明依赖于面积二阶变分的非退化性以及保持度量的共形形变的缺失。