[论文解读] Local similarities and the Haagerup property

Bruce Hughes|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文引入了在紧致非阿基米德度量空间上局部有限决定的局部相似群，并通过拉链作用证明了其具有Haagerup性质。关键贡献在于推广了Farley关于Thompson群的结果，表明此类群在墙空间上存在合适的群作用，从而为作用于树边界和非阿基米德度量空间的一类广泛群建立了a-T-可约性。

ABSTRACT

A new class of groups, the locally finitely determined groups of local similarities on compact ultrametric spaces, is introduced and it is proved that groups in this class have the Haagerup property (that is, they are a-T-menable in the sense of Gromov). The class includes Thompson's groups, which have already been shown to have the Haagerup property by D. S. Farley, as well as many other groups acting on boundaries of trees. A sufficient condition, used in this paper, for the Haagerup property is shown in the appendix by D. S. Farley to be equivalent to the well-known property of having a proper action on a space with walls.

研究动机与目标

• 将Farley关于Thompson群具有Haagerup性质的结果推广到作用于紧致非阿基米德度量空间的更广泛群类。
• 定义并研究在紧致非阿基米德度量空间上局部有限决定的局部相似群类。
• 建立拉链作用与墙空间上合适群作用之间的联系，从而为Haagerup性质提供一个新的充分条件。
• 证明在局部刚性紧致非阿基米德度量空间上，所有局部相似的全群满足Haagerup性质的假设条件。
• 统一并推广现有关于Thompson型群及树边界上群的Haagerup性质结果。

提出的方法

• 引入在紧致非阿基米德度量空间上局部有限决定的局部相似群的概念，确保其局部限制满足有限性条件。
• 在集合E上定义拉链作用，其中Z ⊆ E为拉链，对所有g ∈ Γ，有对称差gZ △ Z有限，且对任意r > 0，仅有有限个g满足|gZ △ Z| < r。
• 从群作用下拉链的轨道构造墙空间，利用不属于所有Z的平移的交集的点所关联的半空间。
• 证明拉链作用可诱导墙空间上的合适群作用，通过证明仅有有限个群元素将基点移动有界伪距离。
• 利用墙空间上的合适群作用与Haagerup性质之间的等价性（通过CAT(0)立方复形），得出该群具有Haagerup性质。
• 借助Farley的附录，证明拉链作用与墙空间上的合适群作用等价，从而将构造与Haagerup性质的已知判据联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致非阿基米德度量空间上局部有限决定的局部相似群是否具有Haagerup性质？
• RQ2 拉链作用能否作为在非阿基米德度量空间上作用的群中建立Haagerup性质的一般框架？
• RQ3 拉链作用与墙空间上的合适群作用之间的等价性是否对所有可数离散群成立？
• RQ4 Thompson型群及树边界上的群在多大程度上属于局部有限决定的局部相似群类？
• RQ5 在此背景下，Haagerup性质与存在CAT(0)立方复形上的合适群作用之间有何关系？

主要发现

• 在紧致非阿基米德度量空间上局部有限决定的局部相似群类具有Haagerup性质。
• Thompson群F、T和V属于此类群，因此继承了Haagerup性质。
• 在局部刚性紧致非阿基米德度量空间X上，所有局部相似的全群LS(X)满足假设条件，因此具有Haagerup性质。
• 群Γ在集合E上的拉链作用可诱导墙空间上的合适群作用，从而蕴含Haagerup性质。
• 墙空间上的合适群作用的存在性与拉链作用的存在性等价，如Farley附录所确立。
• 该构造提供了一个统一框架，推广了Farley早期关于Thompson群的结果，并将Haagerup性质扩展到作用于树边界和非阿基米德度量空间的广泛群类。