[论文解读] Local spectral radius formulas on compact Lie groups

Nils Byrial Andersen, Marcel de Jeu|ArXiv.org|May 26, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文为紧致连通李群 $G$ 上的 $L^p(G)$ 空间中，复化普遍包络代数的中心元素作用下的局部谱半径建立了公式。通过利用群的酉对偶上的傅里叶变换刻画此类算子的局部谱，证明了迭代作用的谱半径等于函数谱支集上 $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$ 的上确界，将 $ olimits\mathbb{R}^d$ 上的经典结果推广至非交换李群。

ABSTRACT

We determine the local spectrum of a central element of the complexified universal enveloping algebra of a compact connected Lie group at a smooth function as an element of L^p(G). Based on this result we establish a corresponding local spectral radius formula.

研究动机与目标

• 将 $ olimits\mathbb{R}^d$ 上的局部谱半径公式推广至紧致李群上的 $L^p$-空间。
• 刻画普遍包络代数中中心元素 $D$ 在 $L^p(G)$ 中光滑函数上作用的局部谱。
• 为非交换李群上无界算子的谱半径公式建立一个推广。
• 证明 $ olimits\widetilde{T}_{D,p}^n f$ 在 $L^p$-范数下的谱半径由 $f$ 的傅里叶变换的谱支集决定。

提出的方法

• 利用酉对偶 $\widehat{G}$ 上的傅里叶变换分析 $D$ 作为左不变微分算子的作用。
• 定义 $L^p(G)$ 上 $D$ 的闭扩张 $\widetilde{T}_{D,p}$，其定义域由满足 $Df \in L^p(G)$ 的函数构成。
• 通过集合 $\{ \chi_{\bar{\pi}}(D) \}^{\operatorname{cl}}$ 刻画局部预解集 $\rho_{\widetilde{T}_{D,p}}(f)$，其中 $\chi_{\bar{\pi}}(D)$ 是 $D$ 在不可约表示 $\pi$ 上的中心特征标。
• 通过在 ${\mathcal{F}}f$ 的支集上对 $\psi_z(\pi) = \frac{{\mathcal{F}}f(\pi)}{\chi_{\bar{\pi}}(D) - z}$ 进行逆傅里叶变换，构造一个解析的局部预解函数，确保其在 $z$ 上解析。
• 通过包含关系证明局部谱为 $\sigma_{\widetilde{T}_{D,p}}(f) = \{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}^{\operatorname{cl}}$。
• 通过利用谱支集上 $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$ 的最大值来界定 $\| \widetilde{T}_{D,p}^n f \|_p^{1/n}$，从而建立谱半径公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致李群的 $L^p$-空间中，中心微分算子是否存在局部谱半径公式？
• RQ2 此类算子的局部谱与函数的傅里叶变换有何关系？
• RQ3 能否用 $f$ 的谱支集上 $D$ 的中心特征标 $\chi_{\bar{\pi}}(D)$ 表示 $D$ 的迭代作用的谱半径？
• RQ4 $\nolimits\widetilde{T}_{D,p}$ 在 $L^p(G)$ 上的局部谱是否由 $\{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}$ 的闭包决定？
• RQ5 该局部谱半径公式是否对所有 $1 \leq p \leq \infty$ 成立，从而将 $ olimits p=1$ 时在 $ olimits\mathbb{R}^d$ 上的已知结果推广？

主要发现

• 光滑函数 $f \in L^p(G)$ 在 $\nolimits\widetilde{T}_{D,p}$ 上的局部谱为 $\sigma_{\nolimits\widetilde{T}_{D,p}}(f) = \{ \chi_{\bar{\pi}}(D) : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}^{\operatorname{cl}}$，其中 $\chi_{\bar{\pi}}(D)$ 是 $D$ 在不可约表示 $\pi$ 上的中心特征标。
• 局部谱半径公式成立：$\lim_{n \to \infty} \| \nolimits\widetilde{T}_{D,p}^n f \|_p^{1/n} = \sup \{ |\chi_{\bar{\pi}}(D)| : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \}$。
• 证明依赖于通过 $\psi_z(\pi) = \frac{{\mathcal{F}}f(\pi)}{\chi_{\bar{\pi}}(D) - z}$ 的逆傅里叶变换构造解析局部预解函数，该函数属于 $\widehat{G}$ 上的施瓦茨空间，并在 $C^\infty(G)$ 中生成一个良定义的解析族。
• $\nolimits\widetilde{T}_{D,p}^n f$ 的 $L^p$-范数被一个常数倍的 $\left( \sup \{ |\chi_{\bar{\pi}}(D)| : \pi \in \operatorname{supp} {\mathcal{F}}f \} \right)^n$ 所控制，从而确立了谱半径的上界。
• 下界通过分析矩阵系数 $\| {\mathcal{F}}(\nolimits\widetilde{T}_{D,p}^n f)(\pi) \| = |\chi_{\bar{\pi}}(D)|^n \| {\mathcal{F}}f(\pi) \|$ 得到，该分析迫使谱半径至少为 $|\chi_{\bar{\pi}}(D)|$，对谱支集中的每个 $\pi$ 成立。
• 该结果将 $ olimits\mathbb{R}^d$ 上的经典局部谱半径公式推广至紧致李群，其中傅里叶变换的角色由酉对偶上的非交换傅里叶变换所取代。