[论文解读] Local spectral statistics of the addition of random matrices

Ziliang Che, Benjamin Landon|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文建立了两个随机矩阵系综之和的特征值统计的普遍性，即 $ H = V^*XV + U^*YU $，其中 $ V $ 和 $ U $ 是哈尓分布的酉矩阵，$ X, Y $ 是确定性的对角矩阵。通过在酉群上引入扩散过程，并将所得的特征值动力学与迪森布朗运动（Dyson Brownian motion）进行比较，作者证明了在 $ N \to \infty $ 的极限下，局部特征值间隔统计和相关函数收敛到高斯酉系综（Gaussian Unitary Ensemble, GUE）的统计结果，前提是 $ X $ 和 $ Y $ 满足较弱的假设。

ABSTRACT

We consider the local statistics of $H = V^* X V + U^* Y U$ where $V$ and $U$ are independent Haar-distributed unitary matrices, and $X$ and $Y$ are deterministic real diagonal matrices. In the bulk, we prove that the gap statistics and correlation functions coincide with the GUE in the limit when the matrix size $N o \infty$ under mild assumptions on $X$ and $Y$. Our method relies on running a carefully chosen diffusion on the unitary group and comparing the resulting eigenvalue process to Dyson Brownian motion. Our method also applies to the case when $V$ and $U$ are drawn from the orthogonal group. Our proof relies on the local law for $H$ proved by [Bao-Erdős-Schnelli] as well as the DBM convergence results of [L.-Sosoe-Yau].

研究动机与目标

• 建立通过哈尓酉矩阵对确定性对角矩阵进行共轭所形成的两个随机矩阵系综之和的局部谱普遍性。
• 将此前仅适用于威格纳矩阵的普遍性原理，推广至更广泛的非同分布随机矩阵模型类别。
• 通过引入一种新颖的基于扩散的比较技术，克服标准微扰方法在迪森布朗运动方法中失效的问题。
• 证明即使初始矩阵系综不具有独立同分布的元素，$ H = V^*XV + U^*YU $ 的局部特征值统计仍会收敛到 GUE 的统计结果。

提出的方法

• 在酉群上引入随机扩散过程，以演化矩阵 $ V $ 和 $ U $，从而生成一列连续的随机矩阵 $ H(t) $。
• 利用所得的特征值过程，建模扩散作用下特征值的动力学行为，并通过时间变换的随机微分方程（SDE）将其与迪森布朗运动（DBM）联系起来。
• 应用先前工作 [8, 7, 9] 中建立的 $ H $ 的局部律，将特征值密度控制在 $ N^{-1+\nu} $ 尺度之下，确保 DBM 收敛的初始数据有效。
• 利用 [35, 34] 中的 DBM 收敛结果，证明 $ H $ 的特征值统计在约 $ N^{-1} $ 的短时间内收敛到 GUE 的体统计。
• 通过基于伊藤引理（Itô’s lemma）和特征值间隔路径分析的新型微扰论证，去除 DBM 框架中引入的小高斯分量。
• 通过证明特征值彼此靠近的时刻集合的勒贝格测度趋于零，建立特征值间隔和相关函数几乎必然收敛到 GUE 极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ N \to \infty $ 时，$ H = V^*XV + U^*YU $ 的局部特征值统计（其中 $ V, U $ 为哈尓酉矩阵，$ X, Y $ 为确定性矩阵）是否收敛到 GUE 的体统计？
• RQ2 标准的迪森布朗运动方法能否被适配于具有相关或结构化元素的非威格纳型随机矩阵系综？
• RQ3 酉群扩散在生成与 DBM 相似的特征值动力学中起什么作用？它如何使超越独立同分布元素的普遍性证明成为可能？
• RQ4 为何标准微扰技术在此设置中失效？路径分析如何克服这一问题？

主要发现

• 在 $ X $ 和 $ Y $ 满足较弱假设的条件下，$ H $ 的局部特征值间隔统计在 $ N \to \infty $ 时收敛到 GUE 的体统计。
• 在 $ N \to \infty $ 的极限下，$ H $ 的特征值相关函数与 GUE 的相关函数一致，证实了该类随机矩阵模型的体普遍性。
• 该证明依赖于在酉群上的扩散过程，其生成的特征值动力学在约 $ N^{-1} $ 的时间尺度内与迪森布朗运动一致。
• 该方法证明了特征值间隔低于 $ \delta = n^{-9/10} $ 的时刻集合的期望个数满足 $ \mathbb{E}|\mathcal{I}| \leq c n^{1/5} $，该值在极限下趋于零。
• 作者通过证明特征值碰撞或大波动的概率在 $ N \to \infty $ 时趋于零，建立了特征值过程几乎必然收敛到 GUE 极限。
• 通过势函数的凸性及轨迹比较，证明了特征值 SDE 的强解唯一性，从而确保极限是良好定义且唯一的。