[论文解读] Local Stability of McKean–Vlasov Equations Arising from Heterogeneous Gibbs Systems Using Limit of Relative Entropies

Donald A. Dawson|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2021

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 25被引用 1

一句话总结

该论文通过缩放相对熵的极限构造局部李雅普诺夫函数，建立了基于块图上异质吉布斯系综推导出的麦科恩-弗拉索夫方程的局部稳定性。利用经验向量的拉普拉斯原理，作者证明了极限函数为下降函数，从而在较弱条件下证明了平衡态的局部渐近稳定性，将先前针对同质系统的结论扩展至具有跳跃的多类平均场系统。

ABSTRACT

A family of heterogeneous mean-field systems with jumps is analyzed. These systems are constructed as a Gibbs measure on block graphs. When the total number of particles goes to infinity, the law of large numbers is shown to hold in a multi-class context, resulting in the weak convergence of the empirical vector towards the solution of a McKean–Vlasov system of equations. We then investigate the local stability of the limiting McKean–Vlasov system through the construction of a local Lyapunov function. We first compute the limit of adequately scaled relative entropy functions associated with the explicit stationary distribution of the N-particles system. Using a Laplace principle for empirical vectors, we show that the limit takes an explicit form. Then we demonstrate that this limit satisfies a descent property, which, combined with some mild assumptions shows that it is indeed a local Lyapunov function.

研究动机与目标

• 分析源自具有跳跃的异质平均场系统的麦科恩-弗拉索夫方程的局部稳定性。
• 将基于相对熵的李雅普诺夫函数方法从同质系统扩展至块图上的多类吉布斯系综。
• 建立缩放相对熵极限形成麦科恩-弗拉索夫极限系统局部李雅普诺夫函数的条件。
• 通过稳定性分析，证明大粒子数（N→∞）与长时间（t→∞）极限可交换。
• 为研究具有多个平衡态的N粒子系统的亚稳态行为提供一个框架。

提出的方法

• 在块图上构造以吉布斯测度为平稳分布的N粒子跳跃过程族。
• 定义经验向量过程，并应用大偏差原理，得到N→∞时的弱极限，从而导出麦科恩-弗拉索夫系统。
• 对N粒子系统的相对熵进行缩放，并利用经验向量的拉普拉斯原理，计算其N→∞时的极限。
• 通过利用柯尔莫哥洛夫前向方程的线性结构，证明极限函数F(μ)沿麦科恩-弗拉索夫轨迹为下降函数。
• 利用相同速率矩阵的线性福克-普朗克方程解中相对熵递减的事实，证明下降性质。
• 当F(μ)在麦科恩-弗拉索夫系统不动点附近为正定函数时，证明F(μ)为局部李雅普诺夫函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 缩放相对熵的极限能否作为源自异质吉布斯系综的麦科恩-弗拉索夫系统的李雅普诺夫函数？
• RQ2 在何种条件下，极限相对熵函数沿麦科恩-弗拉索夫轨迹表现出下降性质？
• RQ3 块图系统中多类结构如何影响李雅普诺夫函数的构造与性质？
• RQ4 麦科恩-弗拉索夫系统的稳定性与有限N粒子系统的亚稳态行为之间有何关系？
• RQ5 相对熵方法能否推广至块图上的一般非吉布斯平均场模型？

主要发现

• 适当缩放的相对熵极限收敛至一个函数F(μ)，该函数可通过经验向量的拉普拉斯原理显式计算。
• 极限函数F(μ)沿麦科恩-弗拉索夫轨迹满足下降性质，即dF/dt ≤ 0，且等号成立当且仅当对每一类均有μ = π(μ)。
• 在较弱假设下，F(μ)为局部李雅普诺夫函数，意味着麦科恩-弗拉索夫系统不动点的局部渐近稳定性。
• 由于控制相对熵动态的柯尔莫哥洛夫前向方程具有线性结构，下降性质得以保持。
• 该方法适用于具有跳跃的多类系统，将相对熵方法的应用范围从同质模型扩展至更广领域。
• 该框架支持具有多个平衡态的有限N系统中的亚稳态分析，因为李雅普诺夫函数可用于研究吸引子态之间的跃迁。