[论文解读] Local structure of singular hyperkahler quotients

Maxence Mayrand|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文建立了奇异超凯勒商空间的 Sjamaar-Lerman 分层定理的超凯勒类比，证明这些商空间可分解为光滑的辛流形层，并在局部双全纯同构于仿射复辛 GIT 商空间，且满足全纯泊松相容性。该工作通过超凯勒商空间构造与复辛几何，将 Marsden-Weinstein 降低框架扩展至奇异的超凯勒情形。

ABSTRACT

When a compact Lie group acts freely and in a Hamiltonian way on a symplectic manifold, the Marsden-Weinstein theorem says that the reduced space is a smooth symplectic manifold. If we drop the freeness assumption, the reduced space might be singular, but Sjamaar-Lerman (1991) showed that it can still be partitioned into smooth symplectic manifolds which fit together nicely in the sense that they form a stratification. In this paper, we prove a hyperkahler analogue of this statement, using the hyperkahler quotient construction. We also show that singular hyperkahler quotients are complex spaces which are locally biholomorphic to affine complex-symplectic GIT quotients with biholomorphisms that are compatible with natural holomorphic Poisson brackets on both sides.

研究动机与目标

• 将 Sjamaar-Lerman 分层定理从辛几何推广至超凯勒几何。
• 分析在非自由群作用下奇异超凯勒商空间的局部结构。
• 建立这些商空间为局部同构于仿射复辛 GIT 商空间的复空间。
• 证明局部双全纯同构保持两个空间上自然的全纯泊松括号。
• 为奇异情形下的 Marsden-Weinstein 降低提供超凯勒类比。

提出的方法

• 使用超凯勒商空间构造，定义紧致李群的哈密顿作用下的约化空间。
• 将 Sjamaar-Lerman 的分层框架应用于超凯勒情形，证明各层为光滑的辛流形。
• 利用复辛几何分析奇异超凯勒商空间的局部结构。
• 在奇异超凯勒商空间与仿射复辛 GIT 商空间之间建立局部双全纯同构。
• 验证这些双全纯同构与两个空间上自然的全纯泊松括号相容。
• 利用超凯勒结构关联商空间中辛结构与复结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sjamaar-Lerman 分层如何推广至超凯勒情形？
• RQ2 奇异超凯勒商空间的局部复解析结构是什么？
• RQ3 奇异超凯勒商空间是否在局部双全洁同构于仿射复辛 GIT 商空间？
• RQ4 奇异超凯勒商空间与复辛 GIT 商空间之间的局部双全洁同构是否保持全纯泊松括号？
• RQ5 超凯勒商空间构造在解决哈密顿商空间奇点问题中起什么作用？

主要发现

• 奇异超凯勒商空间可被分层为光滑的辛流形，其类比于辛情形下的 Sjamaar-Lerman 定理。
• 奇异超凯勒商空间是复空间，且在局部双全洁同构于仿射复辛 GIT 商空间。
• 商空间与 GIT 商空间之间的局部双全洁同构与两个空间上自然的全纯泊松括号相容。
• 超凯勒商空间构造为解决哈密顿群作用下奇点问题提供了自然框架。
• 商空间的局部结构由复辛几何控制，且超凯勒结构确保复结构与辛结构之间的相容性。
• 本研究在奇异情形下建立了 Marsden-Weinstein 定理的超凯勒类比，将辛约化理论的适用范围扩展至非自由作用。