[论文解读] Local Systems of Vertex Operators, Vertex Superalgebras and Modules

Haisheng Li|ArXiv.org|Jun 28, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文引入了‘顶点算子局部系统’的概念，作为线性代数中自同态环的范畴类比，证明了任意此类系统自然地具备顶点（超）代数结构。本文证明了V-模与从顶点算子超代数V到模空间上局部系统的同态之间存在一一对应关系，并应用该框架证明了仿射代数的标准模所对应的顶点算子超代数的有理性，同时将广义互化算子定义为模同态的推广。

ABSTRACT

We give an analogue for vertex operator algebras and superalgebras of the notion of endomorphism ring of a vector space by means of a notion of ``local system of vertex operators'' for a (super) vector space. We first prove that any local system of vertex operators on a (super) vector space $M$ has a natural vertex (super)algebra structure with $M$ as a module. Then we prove that for a vertex (operator) superalgebra $V$, giving a $V$-module $M$ is equivalent to giving a vertex (operator) superalgebra homomorphism from $V$ to some local system of vertex operators on $M$. As applications, we prove that certain lowest weight modules for some well-known infinite-dimensional Lie algebras or Lie superalgebras have natural vertex operator superalgebra structures. We prove the rationality of vertex operator superalgebras associated to standard modules for an affine algebra. We also give an analogue of the notion of the space of linear homomorphisms from one module to another for a Lie algebra by introducing a notion of ``generalized intertwining operators.'' We prove that $G(M^{1},M^{2})$, the space of generalized intertwining operators from one module $M^{1}$ to another module $M^{2}$ for a vertex operator superalgebra $V$, is a generalized $V$-module. Furthermore, we prove that for a fixed vertex operator superalgebra $V$ and

研究动机与目标

• 开发一个与向量空间自同态环类比的顶点算子代数范畴框架。
• 建立V-模与从V到模空间上顶点算子局部系统的同态之间的一一对应关系。
• 通过‘广义互化算子’推广V-模同态的概念，适用于顶点算子超代数。
• 证明与仿射李代数标准模相关联的顶点算子超代数的有理性。
• 为无限维李（超）代数的某些最低权模赋予自然的顶点（超）代数结构。

提出的方法

• 将定义在（超）向量空间M上的顶点算子局部系统定义为在状态-场对应下封闭且满足局部性的顶点算子集合。
• 证明任意M上的顶点算子局部系统自然地携带一个以M为模的顶点（超）代数结构。
• 建立V-模与从V到M上顶点算子局部系统的顶点（超）代数同态之间的一一对应关系。
• 将两个V-模之间的广义互化算子引入为空间G(M¹, M²)中的元素，并证明该空间携带广义V-模结构。
• 利用该框架在已知李（超）代数的最低权模上构造顶点算子超代数结构。
• 将该理论应用于证明由仿射李超代数的标准模所生成的顶点算子超代数的有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在顶点算子代数与超代数的语境下，如何推广自同态环的概念？
• RQ2 V-模与从V到模空间上顶点算子局部系统的同态之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 能否为V-模之间的广义互化算子赋予广义V-模结构？
• RQ4 哪些无限维李（超）代数的最低权模可赋予自然的顶点（超）代数结构？
• RQ5 何种条件可确保与仿射李代数标准模相关联的顶点算子超代数的有理性？

主要发现

• 任一（超）向量空间M上的顶点算子局部系统自然地构成一个以M为模的顶点（超）代数。
• 在M上赋予V-模结构，等价于指定一个从V到M上顶点算子局部系统的顶点（超）代数同态。
• 两个V-模M¹与M²之间广义互化算子的空间G(M¹, M²)是一个广义V-模。
• 某些著名无限维李（超）代数（如与仿射Kac-Moody代数相关者）的最低权模自然携带顶点算子超代数结构。
• 与仿射李代数标准模相关联的顶点算子超代数是有理的。
• 该框架为顶点算子超代数语境下的模与互化算子的系统构造与分类提供了有效方法。