[论文解读] Local systems with quasi-unipotent monodromy at infinity are dense

Hélène Esnault, Moritz Kerz|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

该论文证明了在正常复代数簇的基本群的 G-表示模空间中，具有在无穷远处拟单值单值单体的局部系统是 Zariski 稠密的。通过在特征形式的完备化上作用于算术伽罗瓦群，并运用 De Jong 关于 Frobenius 映射的技巧，作者建立了此类表示的稠密性，为算术几何中的广义稠密性猜想提供了证据，并将其与 Fontaine-Mazur 和 Simpson 的猜想联系起来。

ABSTRACT

We show that complex local systems with quasi-unipotent monodromy at infinity over a normal complex variety are Zariski dense in their moduli. v2: we waited for feedback and added a consequence of Alexandr Petrov's theorem. 3: we tightened the last section. Final version: appears in Israel Journal of Mathematics. footnote added to Conjecture 1.1: Aaron Landesman and Daniel Litt just made available a preprint showing that there is a lower bound for the rank of geometric local systems with infinite mon-odromy on certain curves, and consequently the conjecture can not be true in this generality.

研究动机与目标

• 证明在正常复代数簇的基本群的 G-表示模空间中，具有在无穷远处拟单值单体的 G-表示是 Zariski 稠密的。
• 为几何起源表示在特征形式中是 Zariski 稠密的稠密性猜想提供证据。
• 将稠密性结果推广至特征形式中的特殊子簇，将其与 Fontaine-Mazur 和 Simpson 的“刚性 ⇒ 有理曲面”猜想联系起来。
• 通过伽罗瓦群作用与 Frobenius 映射，将稠密性结果推广至特征形式的算术或特殊子概形。

提出的方法

• 利用绝对伽罗瓦群在框架化特征形式的完备化上的作用，分析单体行为。
• 通过 Frobenius 映射应用 De Jong 技巧，在形式邻域中构造具有拟单值单体的点。
• 利用单位根特征描述伽罗瓦作用在无穷远处单体数据上的行为。
• 使用平坦性与下降定理，将点从剩余域提升至一般点，确保 Zariski 稠密性。
• 通过概形像与平坦态射，将问题约化为局部完整交。
• 应用 Riemann-Hilbert 对应与 Gelfond-Schneider 定理作为替代工具，如相关工作中所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有在无穷远处拟单值单体的局部系统是否在正常复代数簇的基本群的 G-表示模空间中是 Zariski 稠密的？
• RQ2 几何起源表示的集合是否在线性代数群 G 的特征形式中构成 Zariski 稠密集？
• RQ3 稠密性结果能否从完整特征形式推广至由算术或几何条件定义的特殊子簇？
• RQ4 伽罗瓦群在特征形式的正式完备化上的作用与无穷远处的单体性质有何关系？
• RQ5 拟单值单体表示的稠密性在多大程度上支持 Fontaine-Mazur 或 Simpson 的“刚性 ⇒ 有理曲面”猜想？

主要发现

• 具有在无穷远处拟单值单体的 G-表示在框架化特征形式 Ch□_G,C(π) 中是 Zariski 稠密的。
• 该证明依赖于伽罗瓦群通过单位根特征在特征形式的正式完备化上的作用。
• De Jong 技巧确保了在形式邻域中存在 (q−1)-挠点，它们映射到一般点并保持拟单值性。
• 稠密性结果可推广至特殊子概形 Z ⊂ ChGLr,C(π)，其中“特殊”指被伽罗瓦群的开子群稳定的子概形。
• 对于零维特殊子概形，该猜想蕴含 Simpson 的“刚性 ⇒ 有理曲面”猜想，且被相对 Fontaine-Mazur 猜想所蕴含。
• 该结果为几何起源表示的稠密性提供了新的算术-几何视角，支持了算术几何中的广义猜想。