[论文解读] Local theta-regulators of an algebraic number -- p-adic Conjectures

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入了伽罗瓦扩张 K/Q 中代数数 η 的局部 θ-调节子 ∆θ_p(η)，通过表示理论将其与 p-进调节子联系起来。基于概率启发式与上同调证据，该文猜想：当 p 足够大时，归一化的 p-进调节子 Reg^G_p(η) 要么是 p-进单位，要么仅被 p^ϕ(1) 整除一次，从而暗示大 p 下数域的 p-有理性。

ABSTRACT

Let K/Q be Galois and let eta in K* be such that the multiplicative Z[G]-module generated by eta is of Z-rank n.We define the local theta-regulators Delta\_p^theta(eta) in F\_p for the Q\_p-irreducible characters theta of G=Gal(K/Q). Let V\_theta be the theta-irreducible representation. A linear representation L^theta=delta.V\_theta is associated withDelta\_p^theta(eta) whose nullity is equivalent to delta$\ge$1 (Theorem 3.9). Each Delta\_p^theta(eta) yields Reg\_p^theta(eta) modulo p in the factorization $\prod$\_theta (Reg\_p^theta(eta))^phi(1) of Reg\_p^G(eta) := Reg\_p(eta)/p^[K : Q] (normalized p-adic regulator), where phi divides theta is absolutely irreducible.From the probability Prob(Delta\_p^theta(eta) = 0 \& L^theta=delta.V\_theta)$\le$p^(-f.delta^2) (f= residue degree of p in the field of values of phi) and the Borel--Cantelli heuristic, we conjecture that, for p large enough, Reg\_p^G(eta) is a p-adic unit or that p^phi(1) divides exactly Reg\_p^G(eta) (existence of a single theta with f=delta=1); this obstruction may be lifted assuming the existence of a binomial probability law (Sec. 7) confirmed through numerical studies (groups C\_3, C\_5, D\_6). This conjecture would imply that, for all p large enough, Fermat quotients of rationals andnormalized p-adic regulators are p-adic units (Theorem 1.1), whence the fact that number fields are p-rational for p extgreater{} extgreater{}0. We recall \S8.7 some deep cohomological results, which may strengthen such conjectures.

研究动机与目标

• 为伽罗瓦扩张 K/Q 中的代数数 η 定义局部 θ-调节子 ∆θ_p(η) ∈ F_p。
• 利用表示理论与伽罗瓦模结构分析 p-进调节子 Reg^G_p(η)。
• 基于概率与上同调启发式，猜想当 p 足够大时，Reg^G_p(η) 是 p-进单位或仅被 p^ϕ(1) 整除一次。
• 将结果与 Leopoldt–Jaulent 猜想及数域 p-有理性的广义猜想相联系。

提出的方法

• 将局部 θ-调节子 ∆θ_p(η) 定义为与 G = Gal(K/Q) 的不可约 Q_p-特征标 θ 相关的 F_p 中的不变量。
• 从 ∆θ_p(η) 构造线性表示 L_θ ≃ δ V_θ，其中 δ ≥ 1 表示调节子的零度。
• 将归一化的 p-进调节子分解为 ∏_θ (Reg^θ_p(η))^{ϕ(1)}，其中 ϕ | θ 为绝对不可约。
• 使用 Borel–Cantelli 启发式，结合概率界 p^{−fδ^2}（f 为剩余次数），估计 p-整除的可能性。
• 应用二项式概率模型（启发式 7.4），证明 Reg^G_p(η) ≡ 0 mod p 的概率为 O(1/p^{log²p / log c₀(η)}）。
• 通过 G = C₃, C₅, D₆ 的数值证据及 Bloch–Kato 与 Voevodsky 的上同调结果支持猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 归一化的 p-进调节子 Reg^G_p(η) 在局部 θ-调节子 ∆θ_p(η) 的术语下具有何种结构？
• RQ2 在何种条件下 Reg^G_p(η) 被 p 整除，且对大素数 p，这种情况发生的频率如何？
• RQ3 Borel–Cantelli 启发式是否可用于预测满足 p | Reg^G_p(η) 的素数 p 仅有有限多个？其应用的障碍是什么？
• RQ4 局部 θ-调节子 ∆θ_p(η) 与广义费马商 α_p(η) 的伽罗瓦模结构有何关联？
• RQ5 上同调结果（如 Bloch–Kato 与 Voevodsky 的结果）在多大程度上支持 T_p 有限的猜想，从而暗示 p-有理性？

主要发现

• 当 p 足够大时，Reg^G_p(η) ≡ 0 mod p 的概率至多为 C∞(η)/p^{log²p / log c₀(η)} − O(1)，其中 c₀(η) = max_σ |η^σ|，且 e⁻¹ ≤ C∞(η) ≤ 1。
• 在启发式 7.4 与 Borel–Cantelli 原理下，满足 p | Reg^G_p(η) 的素数 p 的数量为有限。
• 应用 Borel–Cantelli 的唯一障碍是 Reg^G_p(η) ∼ p^{ϕ(1)}（模单位）的情形，其发生的概率至多为 O(1/p)，且与 θ-分量中 δ = f = 1 相关联。
• 对 G = C₃, C₅, D₆ 的数值研究验证了二项式概率模型，并支持有限 p-整除性的猜想。
• Bloch–Kato 与 Voevodsky 的上同调结果表明，当 m ≥ 1 时，H²(G_S(K), Z_p(m)) 有限，支持 T_p 有限的猜想，从而暗示 K 对大 p 是 p-有理的。
• 该猜想意味着所有充分大的 p 下，有理数与数域的归一化 p-进调节子均为 p-进单位，因此数域对大 p 是 p-有理的。