[论文解读] Local time on the exceptional set of dynamical percolation, and the Incipient Infinite Cluster

Alan Hammond, Gábor Pete+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Aug 19, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 6

一句话总结

该论文在三角形格子或Z²上的动态临界渗流中，引入了一种关于原点属于无限簇的例外时间的局部时间测度。结果表明，在典型例外时间（相对于该测度）下，配置服从Kesten的初始无限簇（IIC）分布，但在首次例外时间下，其分布与IIC不同。该工作建立了Kesten近临界关系在动态情形下的类比，关联了静态与动态临界指数。

ABSTRACT

In dynamical critical site percolation on the triangular lattice or bond percolation on \Z^2, we define and study a local time measure on the exceptional times at which the origin is in an infinite cluster. We show that at a typical time with respect to this measure, the percolation configuration has the law of Kesten's Incipient Infinite Cluster. In the most technical result of this paper, we show that, on the other hand, at the first exceptional time, the law of the configuration is different. We also study the collapse of the infinite cluster near typical exceptional times, and establish a relation between static and dynamic exponents, analogous to Kesten's near-critical relation.

研究动机与目标

• 定义并分析动态渗流中当原点属于无限簇时，例外时间集合上的局部时间测度。
• 研究在该测度下，典型例外时间的配置是否服从Kesten的初始无限簇（IIC）律。
• 确定首次例外时间（FET）的配置律是否与IIC等价。
• 建立静态与动态临界指数之间的关系，类比于Kesten的近临界关系。

提出的方法

• 在动态渗流中，当原点属于无限簇时，引入例外时间集合上的局部时间测度。
• 使用离散傅里叶分析与大小偏移技术，研究例外时间下配置的分布。
• 应用RSW与FKG不等式，分析环形区域中的环路形成，并控制连接概率的衰减速率。
• 采用递归过程分析例外时间附近连接性的坍塌，其受几何随机变量的随机控制。
• 利用贝叶斯法则与准乘性界，比较IIC测度与其有限体积条件化版本。
• 建立连接在断开前穿越的环形数量的指数尾部界，证明连接性的坍塌速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部时间测度下，典型例外时间的配置是否服从初始无限簇（IIC）律？
• RQ2 首次例外时间（FETIC）的配置律是否等于IIC？
• RQ3 在例外时间附近，原点到远距离尺度的连接性如何坍塌？
• RQ4 动态渗流中，静态临界指数与动态指数之间存在何种关系？
• RQ5 局部时间测度能否用于刻画动态设定下的IIC？

主要发现

• 在相对于局部时间测度的典型例外时间下，配置服从Kesten的初始无限簇（IIC）律。
• 首次例外时间（FETIC）的配置律不等于IIC，揭示了典型与首次例外时间之间存在根本性差异。
• 在例外时间附近，连接性断开前穿越的二进制环形数量被几何随机变量之和随机控制，意味着指数尾部衰减。
• 原点在时间t内保持与距离r连接的概率，其衰减速率受exp(−c log(1/t))的上界控制（当t较小时），表明连接性迅速坍塌。
• 建立了Kesten近临界关系的动态类比，将静态与动态临界指数联系起来。
• 局部时间测度为IIC提供了自然的动态表征，证实了其在典型例外时间区域中的出现。