[论文解读] Local times for continuous paths of arbitrary regularity

Donghan Kim|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文为具有有限 $p$-次变差的连续函数引入了一种新的 $p$ 阶连续路径局部时概念，使得 $C^{(p-2)}$ 函数的广义伊藤-田中公式成为可能。该研究建立了高阶田中-迈尔公式，并利用碰撞局部时分析排序函数，同时提出了分数布朗运动路径的第二种、更自然的局部时定义。

ABSTRACT

We study a continuous pathwise local time of order p for continuous functions with finite p-th variation along a sequence of time partitions, for even integers p >= 2. With this notion, we establish a Tanaka-type change of variable formula, as well as Tanaka-Meyer formulae. We also derive some identities involving this high-order pathwise local time, each of which generalizes a corresponding identity from semimartingale theory. We then use collision local times between multiple functions of arbitrary regularity, to study the dynamics of ranked continuous functions of arbitrary regularity. We present also another definition of pathwise local time which is more natural for fractional Brownian Motions, and give a connection with the previous notion of local time.

研究动机与目标

• 为具有有限 $p$-次变差的连续函数在一组嵌套划分 $\pi_n$ 上定义路径局部时 $p$ 阶，其中 $p \geq 2$ 为偶数。
• 利用这种新的局部时，将伊藤-田中公式推广至 $C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ 函数，推广经典半鞅结果。
• 推导涉及局部时的高阶田中-迈尔公式与恒等式，推广已知的半鞅恒等式。
• 利用路径间的碰撞局部时分析具有任意正则性的排序连续函数的动力学。
• 提出分数布朗运动路径的另一种、更自然的路径局部时定义，并与主要定义进行比较。

提出的方法

• 在嵌套划分序列 $\pi_n$ 上定义路径 $p$-次变差，要求 $\lim_{n\to\infty} \text{osc}(S, \pi_n) = 0$，且离散测度 $\mu^n$ 的模糊收敛于一个 $\sigma$-有限测度。
• 通过 $p$ 阶泰勒展开导出的离散局部时的一致极限，引入连续路径局部时 $\mathscr{L}^{p,c}$。
• 通过光滑导数的双重极限构造修正的弗勒默积分，使不规则性更强的函数也能实现积分。
• 推导广义伊藤-田中公式：$ f(S(t)) - f(S(0)) = \int_0^t f'(S(u)) dS(u) + \frac{1}{(p-1)!} \int_\mathbb{R} \mathscr{L}_t^{p,c}(x) df^{(p-1)}(x) $，对 $f \in C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ 且 $f^{(p-1)}$ 为有变差且右连续的函数成立。
• 利用 $m$ 个连续函数之间的碰撞局部时，将第 $k$ 个排序函数 $X_{(k)}$ 表示为原始积分、碰撞项与由于粗糙性产生的交叉项之和。
• 通过占用密度公式提出第二种局部时 $\mathscr{L}^{p,c}$，其弱于原始定义，但更适合分数布朗运动路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有有限 $p$-次变差的连续函数（$p \geq 2$ 为偶数）一致地定义 $p$ 阶路径局部时？
• RQ2 能否利用此类局部时将伊藤-田中公式推广至 $C^{(p-2)}$ 函数？其有效性需满足何种条件？
• RQ3 涉及路径局部时的哪些高阶恒等式可推广已知的半鞅恒等式？
• RQ4 如何利用碰撞局部时表达具有有限 $p$-次变差的排序连续函数的动力学？
• RQ5 基于占用密度的新型局部时定义与原始路径局部时相比如何，尤其在分数布朗运动路径上？

主要发现

• 通过 $p$ 阶泰勒展开导出的离散局部时的一致极限，定义了一种新的路径局部时 $\mathscr{L}^{p,c}$，确保了路径无关、非概率性的构造。
• 广义伊藤-田中公式对 $f \in C^{(p-2)}(\mathbb{R})$ 且 $f^{(p-1)}$ 为有变差且右连续的函数成立，表达式为 $ f(S(t)) - f(S(0)) = \int_0^t f'(S(u)) dS(u) + \frac{1}{(p-1)!} \int_\mathbb{R} \mathscr{L}_t^{p,c}(x) df^{(p-1)}(x) $。
• 通过光滑导数的双重极限定义的修正弗勒默积分，使得即使对不规则性更强的 $f$，积分 $\int_0^t f'(S(u)) dS(u)$ 也能良好定义。
• 具有有限 $p$-次变差的 $m$ 个连续函数中，第 $k$ 个排序函数 $X_{(k)}$ 的动力学可表示为原始函数积分、碰撞局部时项与由于粗糙性产生的交叉项之和。
• 提出一种基于占用密度公式的第二种局部时定义 $\mathscr{L}^{p,c}$，其弱于原始定义，但更适合分数布朗运动路径。
• 两种局部时定义的比较表明：$L^{p,c}$ 更强（一致极限），而 $\mathscr{L}^{p,c}$ 更弱（依分布收敛），且后者需依赖修正弗勒默积分以使伊藤-田中公式成立。