[论文解读] Local unitary transformation, long-range quantum entanglement, wave function renormalization, and topological order

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu+1 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Apr 22, 2010

Quantum and electron transport phenomena被引用 50

一句话总结

本文确立了局部幺正（LU）变换作为分类能隙体系中量子物态的基本框架，表明LU等价的态具有相同的拓扑序。它提出了一种波函数重整化方案，在保持长程纠缠的同时简化量子态，通过张量积波函数的固定点条件，实现了对弦网理论之外的拓扑序的分类。

ABSTRACT

Two gapped quantum ground states in the same phase are connected by an adiabatic evolution which gives rise to a local unitary transformation that maps between the states. On the other hand, gapped ground states remain within the same phase under local unitary transformations. Therefore, local unitary transformations define an equivalence relation and the equivalence classes are the universality classes that define the different phases for gapped quantum systems. Since local unitary transformations can remove local entanglement, the above equivalence/universality classes correspond to pattern of long range entanglement, which is the essence of topological order. The local unitary transformation also allows us to define a wave function renormalization scheme, under which a wave function can flow to a simpler one within the same equivalence/universality class. Using such a setup, we find conditions on the possible fixed-point wave functions where the local unitary transformations have \emph{finite} dimensions. The solutions of the conditions allow us to classify this type of topological orders, which generalize the string-net classification of topological orders. We also describe an algorithm of wave function renormalization induced by local unitary transformations. The algorithm allows us to calculate the flow of tensor-product wave functions which are not at the fixed points. This will allow us to calculate topological orders as well as symmetry breaking orders in a generic tensor-product state.

研究动机与目标

• 基于局部幺正（LU）变换，定义一个对能隙量子物态的普遍分类。
• 确立拓扑序本质上是长程量子纠缠的模式。
• 开发一种波函数重整化方案，简化同一LU等价类中的量子态。
• 利用LU变换下的固定点条件，推广弦网对拓扑序的分类。
• 提供一种算法，将通用张量积态重整化以提取拓扑序与对称性破缺序。

提出的方法

• 使用局部幺正（LU）变换在能隙量子基态之间定义等价关系，其中LU等价的态属于同一物相。
• 应用Lieb-Robinson界，确保在绝热演化下，局部幺正演化保持局域性与能隙性。
• 引入波函数重整化作为LU变换下的流，简化波函数的同时保持长程纠缠。
• 推导图上LU不变波函数的固定点条件，从而实现对拓扑序的分类。
• 构建张量积态的重整化算法，通过迭代应用LU变换以识别拓扑序与对称性破缺序。
• 证明常深度量子线路与连续局部幺正演化在物相分类中具有物理等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用局部幺正变换在能隙体系中定义量子物态的普遍分类？
• RQ2 长程量子纠缠在表征拓扑序中起什么作用？
• RQ3 在LU变换下，波函数重整化如何在保持拓扑不变量的同时简化量子态？
• RQ4 在弦网模型之外，分类拓扑序的固定点条件是什么？
• RQ5 能否开发一种系统性算法，从通用张量积态中提取拓扑序与对称性破缺序？

主要发现

• 局部幺正变换在能隙量子基态之间定义了等价关系，LU等价的态属于同一量子物相。
• 拓扑序本质上由长程量子纠缠表征，且在局部幺正变换下保持不变。
• 在LU变换下的波函数重整化将给定态流形化为同一普遍类中的更简单固定点形式。
• LU不变波函数的固定点条件推广了弦网分类，实现了对拓扑序的系统枚举。
• 所提出的重整化算法成功识别出通用张量积态在晶格上的拓扑序（例如Z2）与对称性破缺序（例如伊辛序）。
• 证明常深度量子线路在物相分类中与连续局部幺正演化具有物理等价性。