[论文解读] Local volumes on normal algebraic varieties

Mihai Fulger|arXiv (Cornell University)|May 16, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文引入了在正规代数簇的双有理修改上Cartier除子的局部体积的新概念，推广了孤立奇点的体积。它建立了局部体积函数的连续性、齐次性与对数凸性，证明了具有极限而非上极限的Fujita型逼近，并表明奇点的体积等于在对数解析解上 canonical 除子的局部体积，将曲面结果推广至高维。

ABSTRACT

In this paper we study a notion of volume for Cartier divisors on arbitrary blow-ups of normal complex algebraic varieties of dimension greater than one, with a distinguished point. We apply this to study a volume for normal isolated singularities, generalizing work on surfaces done by Wahl. We also compare this volume of isolated singularities to a different generalization due to Boucksom, de Fernex and Favre.

研究动机与目标

• 定义并研究在正规代数簇上一点处Cartier除子的新的不变量——局部体积。
• 将孤立奇点的体积推广至高维，扩展曲面奇点的结果。
• 将此局部体积与Boucksom、de Fernex和Favre引入的另一种概念进行比较。
• 研究局部体积的几何与渐近性质，包括消失性与对数凸性。
• 探讨局部乘子与体积的交点理论解释的可能性。

提出的方法

• 将Cartier除子 $ D $ 在点 $ x $ 处的局部体积定义为 $ \mathrm{vol}_x(D) = \lim_{m\to\infty} \frac{h^1_x(mD)}{m^n/n!} $，其中 $ h^1_x(D) = \dim H^1_{\{x\}}(X, \pi_*\mathcal{O}_{X'}(D)) $。
• 证明 $ \mathrm{vol}_x(D) $ 是良定义的，且在 $ x $ 处模数值等价的N\'eron-Severi空间上具有 $ n $-齐次性与连续性。
• 利用凸几何与Fujita逼近技术，证明极限存在且等于上极限，扩展了[19]中的方法。
• 将奇点 $ (X,x) $ 的局部体积与对数解析解 $ \pi: (\widetilde{X},E) \to (X,x) $ 上 $ K_{\widetilde{X}} + E $ 的体积联系起来。
• 在 $ x $ 上的例外除子空间上建立 $ \mathrm{vol}_x $ 的对数凸性，尽管其在完整的N\'eron-Severi空间上未必成立。
• 利用渐近上同调函数与理想层的graded族，将 $ \mathrm{vol}_x(D) $ 表示为局部乘子 $ \widehat{h}^1_x(\mathfrak{a}_p) $ 的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ D $ 不一定为 nef 或不支持于 $ x $ 时，局部体积 $ \mathrm{vol}_x(D) $ 是否具有渐近交点理论解释？
• RQ2 定义 $ \mathrm{vol}_x(D) $ 中的极限是否总是等于上极限？这一结论能否推广至本文研究类之外的除子？
• RQ3 能否通过类似射影簇上全局体积的移动自交数来描述局部体积 $ \mathrm{vol}_x(D) $？
• RQ4 $ \mathrm{vol}_x(D) $ 在完整的N\'eron-Severi空间 $ N^1(X'/X)_{\mathbb{R}} $ 上的行为如何？它在何处消失？
• RQ5 是否存在对分数理想层 $ \mathcal{I} $ 的局部乘子 $ \widehat{h}^1_x(\mathcal{I}) $ 的几何解释，以交点理论形式表达？

主要发现

• 局部体积 $ \mathrm{vol}_x(D) $ 是良定义的，具有 $ n $-齐次性与连续性，且在 $ N^1(X'/X)_{\mathbb{R}} $ 上成立，扩展了全局体积函数的性质。
• 定义中 $ \mathrm{vol}_x(D) $ 的极限存在且等于上极限，因此 $ \mathrm{vol}_x(D) = \lim_{m\to\infty} \frac{h^1_x(mD)}{m^n/n!} $，解决了关键的技术问题。
• 对于正规孤立奇点 $ (X,x) $，体积 $ \mathrm{vol}(X,x) $ 等于在对数解析解 $ \pi: (\widetilde{X},E) \to (X,x) $ 上的 $ \mathrm{vol}_x(K_{\widetilde{X}} + E) $。
• 局部体积 $ \mathrm{vol}_x(D) $ 当且仅当对所有 $ m \geq 0 $ 有 $ h^1_x(m\widetilde{D}) = 0 $ 时消失，其中 $ \widetilde{D} $ 是在正规化上的拉回。
• 在 $ x $ 上的例外除子空间上，$ \mathrm{vol}_x $ 具有对数凸性，尽管其在完整的N\'eron-Severi空间上可能不成立。
• 对于正规孤立奇点的有限映射 $ f: (X,x) \to (Y,y) $，有 $ \mathrm{vol}(X,x) \geq (\deg f) \cdot \mathrm{vol}(Y,y) $，推广了曲面结果。