[论文解读] Local weak convergence and propagation of ergodicity for sparse networks of interacting processes

Daniel Lacker, Kavita Ramanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

该论文建立了大稀疏图上相互作用粒子系统的局部弱收敛性，表明其联合分布律在图收敛下连续收敛。论文证明了在可迁图上存在遍历性的传播，并在Erdős–Rényi图和配置模型等稀疏随机图集合中，识别出全局与分量级经验测度的不同极限行为。

ABSTRACT

We study the limiting behavior of interacting particle systems indexed by large sparse graphs, which evolve either according to a discrete time Markov chain or a diffusion, in which particles interact directly only with their nearest neighbors in the graph. To encode sparsity we work in the framework of local weak convergence of marked (random) graphs. We show that the joint law of the particle system varies continuously with respect to local weak convergence of the underlying graph. In addition, we show that the global empirical measure converges to a non-random limit, whereas for a large class of graph sequences including sparse Erd\{o}s-R\'{e}nyi graphs and configuration models, the empirical measure of the connected component of a uniformly random vertex converges to a random limit. Finally, on a lattice (or more generally an amenable Cayley graph), we show that if the initial configuration of the particle system is a stationary ergodic random field, then so is the configuration of particle trajectories up to any fixed time, a phenomenon we refer to as propagation of ergodicity. Along the way, we develop some general results on local weak convergence of Gibbs measures in the uniqueness regime which appear to be new.

研究动机与目标

• 使用稀疏图上带标记的随机图的局部弱收敛性来分析大稀疏图上相互作用粒子系统的极限行为。
• 在底层图的局部弱收敛下，建立粒子系统联合分布律的连续性。
• 刻画全局经验测度和随机顶点连通分量经验测度的极限行为。
• 在可迁Cayley图上，证明初始配置为平稳遍历随机场时，遍历性在时间上得以传播。

提出的方法

• 采用带标记的随机图的局部弱收敛性来建模稀疏网络结构，包括Erdős–Rényi图和配置模型图。
• 使用耦合及基于耦合的论证方法，证明粒子系统分布律在图收敛下的连续性。
• 分析全局经验测度的极限，证明其收敛到非随机极限。
• 通过条件化于均匀随机顶点的连通分量，研究分量级经验测度，证明在稀疏图序列中其收敛到随机极限。
• 在可迁Cayley图上建立遍历性的传播，通过证明粒子轨迹配置在任意固定时间仍保持平稳与遍历。
• 在唯一性区域建立Gibbs测度局部弱收敛的一般性结果，这些结果具有独立兴趣并支持主要发现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在底层稀疏图的局部弱收敛下，相互作用粒子系统的联合分布律如何表现？
• RQ2 在稀疏图上，粒子系统全局经验测度的极限行为是什么？
• RQ3 在稀疏图序列中，随机顶点连通分量的经验测度是否收敛到确定性极限或随机极限？
• RQ4 在可迁图上，粒子系统初始遍历性在何种条件下能随时间传播？
• RQ5 在唯一性区域下，Gibbs测度在局部弱收敛下会涌现出何种一般性质？

主要发现

• 粒子系统的联合分布律相对于底层图的局部弱收敛是连续变化的。
• 在系统规模趋于无穷的极限下，全局经验测度收敛到非随机极限。
• 在Erdős–Rényi图和配置模型等稀疏图序列中，均匀随机顶点连通分量的经验测度收敛到随机极限。
• 在可迁Cayley图上，若初始配置为平稳遍历随机场，则粒子轨迹在任意固定时间的配置仍保持平稳与遍历，从而证明了遍历性的传播。
• 在唯一性区域下，建立了Gibbs测度局部弱收敛的一般性结果，这些结果具有独立兴趣。