[论文解读] Local weak convergence for sparse networks of interacting processes

Daniel Lacker, Kavita Ramanan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 34被引用 14

一句话总结

本文建立了稀疏相互作用粒子系统网络的局部弱收敛性，表明粒子动力学的联合分布随底层图的局部弱收敛而连续收敛。对于稀疏的Erdős-Rényi图和配置模型图，全局经验测度收敛到确定性极限，而典型连通分量的经验测度收敛到随机极限，从而在稀疏状态下实现了边际动力学的自主描述。

ABSTRACT

We study the limiting behavior of interacting particle systems indexed by large sparse graphs, which evolve either according to a discrete time Markov chain or a diffusion, in which particles interact directly only with their nearest neighbors in the graph. To encode sparsity we work in the framework of local weak convergence of marked (random) graphs. We show that the joint law of the particle system varies continuously with respect to local weak convergence of the underlying graph marked with the initial conditions. In addition, we show that the global empirical measure converges to a non-random limit for a large class of graph sequences including sparse Erdös-Rényi graphs and configuration models, whereas the empirical measure of the connected component of a uniformly random vertex converges to a random limit. Along the way, we develop some related results on the time-propagation of ergodicity and empirical field convergence, as well as some general results on local weak convergence of Gibbs measures in the uniqueness regime which appear to be new. The results obtained here are also useful for obtaining autonomous descriptions of marginal dynamics of interacting diffusions and Markov chains on sparse graphs. While limits of interacting particle systems on dense graphs have been extensively studied, there are relatively few works that have studied the sparse regime in generality.

研究动机与目标

• 分析大规模稀疏图上相互作用粒子系统的极限行为，其中相互作用度保持有限。
• 在底层图的局部弱收敛下，建立粒子系统联合分布的连续性。
• 表征稀疏图序列中全局及分量特异性经验测度的收敛性。
• 发展经验场收敛与稀疏网络动力学中遍历性传播的工具。
• 将平均场极限理论从稠密图扩展到稀疏区域，尤其针对扩散过程和马尔可夫链。

提出的方法

• 使用带标记的随机图的局部弱收敛来分析粒子系统极限，其中标记表示初始条件。
• 应用单峰性和吉布斯测度收敛技术，建立在图收敛下联合分布的连续性。
• 采用时间传播遍历性与经验场收敛，将局部图结构与全局系统行为联系起来。
• 利用泊松对偶原理和Molloy-Reed图极限定理，验证Erdős-Rényi图与配置模型图的收敛性。
• 在温和正则性与稀疏性条件下，建立全局经验测度收敛到非随机极限的结果。
• 在Lipschitz假设下利用SDE的存在性与唯一性结果，证明扩散模型极限的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在图的局部弱收敛下，稀疏图上相互作用粒子系统的联合分布如何表现？
• RQ2 在稀疏图序列中，全局经验测度在何种条件下收敛到确定性极限？
• RQ3 在稀疏图中，对均匀随机顶点的连通分量所限制的经验测度的极限行为是什么？
• RQ4 遍历性与经验场收敛如何在稀疏网络动力学中传播？
• RQ5 能否对稀疏图上相互作用扩散与马尔可夫链的极限动力学进行自主描述？

主要发现

• 对于稀疏的Erdős-Rényi图和配置模型图，粒子系统的全局经验测度以概率收敛到非随机极限。
• 均匀随机顶点的连通分量的经验测度以分布收敛到随机极限，反映了分量结构的随机性。
• 对于离散时间马尔可夫链与扩散系统，粒子系统联合分布相对于底层图的局部弱收敛表现出连续变化。
• 本文在唯一性区域建立了吉布斯测度局部弱收敛的新结果，这对主要收敛定理至关重要。
• 在一般条件下证明了遍历性的时间传播与经验场收敛，使得极限中边际动力学的描述成为可能。
• 稀疏图上相互作用系统的极限动力学可被自主描述，为完整系统模拟提供了一种可处理的替代方案。