[论文解读] Localisation of the Galilean symmetry and dynamical realisation of Newton-Cartan geometry

Rabin Banerjee, Arpita Mitra+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 20

一句话总结

本文通过在非相对论性物质场论中局部化伽利略对称性，提出了牛顿-卡坦诺夫几何的动力学、场论实现。通过规范化全局伽利略群——引入通过主矩阵的 vierbeins 和联络——作者直接从规范场推导出牛顿-卡坦诺夫时空的退化度量和仿射联络，建立了一个完全几何化、与相对论无关的构造，满足牛顿-卡坦诺夫理论的所有关键张量性和几何约束。

ABSTRACT

Newtonian gravity was formulated as a geometrodynamic theory as far back in 1930s by Elie Cartan in what is named aptly as Newton Cartan space time. Though there are several approaches of realizing the algebraic structure of the Newton Cartan geometry from a contraction of the relativistic results, a dynamical (field theoretic) realization of it is lacking. In this paper we present such a realization from the localisation of the Galilean Symmetry of nonrelativistic matter field theories.

研究动机与目标

• 提供一种与相对论收缩无关的、场论化的牛顿-卡坦诺夫几何的动力学实现。
• 将 Utiyama 类型的规范程序从庞加莱对称性扩展到非相对论性场论中的伽利略对称性。
• 直接从局部规范场构造牛顿-卡坦诺夫时空的几何对象——退化度量和联络。
• 验证所得到的几何对象在局部伽利略变换下正确变换，并满足牛顿-卡坦诺夫时空的几何公理。
• 建立一个具有 vierbein 和联络场的四维时空流形，从第一原理实现完整的牛顿-卡坦诺夫几何结构。

提出的方法

• 通过将常数变换参数提升为时空依赖函数，局部化非相对论性场论的全局伽利略对称性。
• 引入协变导数并修改积分测度，以恢复局部伽利略变换下的不变性。
• 从规范场（vierbeins、自旋联络）构造一个 4×4 可逆主矩阵，统一几何结构。
• 通过 vierbein 假设推导牛顿-卡坦诺夫联络，确保与退化空间度量和时间度量的相容性。
• 利用局部化程序的变换规则，验证所得到的几何对象在局部伽利略变换下作为张量正确变换。
• 显式地从规范场构造时间一形式 τμ 和空间度量 hμν，并推导出包含偏导数和自旋联络项的连接表达式（公式 41）。

实验结果

研究问题

• RQ1 牛顿-卡坦诺夫几何能否通过伽利略对称性的局部化，在不依赖相对论收缩的前提下，作为动力学场论结构实现？
• RQ2 由局部伽利略对称性产生的规范场如何对应牛顿-卡坦诺夫时空几何对象（vierbeins、联络、度量）？
• RQ3 从局部化程序推导出的几何对象是否在局部伽利略变换下满足正确的张量变换规则？
• RQ4 所得到的联络结构是否等价于标准牛顿-卡坦诺夫联络？能否表达为类似于庞加莱规范理论中黎曼-卡坦诺夫联络的形式？
• RQ5 能否仅通过伽利略对称性局部化生成的场，一致地赋予四维时空流形牛顿-卡坦诺夫几何？

主要发现

• 在非相对论性场论中局部化伽利略对称性，可生成一组完整的场，可重新解释为牛顿-卡坦诺夫时空的几何结构。
• 时间一形式 τμ 和空间度量 hμν 显式地从规范场构造，其中 τμ 定义绝对时间，hμν 定义空间几何。
• 通过 vierbein 假设推导出仿射联络，其形式如公式 (41) 所示，包含类似曲率的项以及涉及自旋联络 Kλ(μτν) 的项。
• 所得联络满足所需的几何性质：与退化度量相容，并在局部伽利略变换下正确变换。
• 该构造完全独立于广义相对论或庞加莱规范理论，提供了牛顿-卡坦诺夫几何的首项场论推导。
• 最终的几何结构与标准牛顿-卡坦诺夫时空一致，联络与度量满足所有定义约束，包括 torsion 张量的时间部分为零。