[论文解读] Localisations and Completions of Skew Power Series Rings

Peter Schneider, Otmar Venjakob|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2007

Rings, Modules, and Algebras参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文將過收斂的斜勞侖級數環構造為斜冪級數環 $A = R[[t;\sigma,\delta]]$ 的局部化之完備化，確立局部化 $A_S$ 在一個標準的 Ore 集 $S$ 上的完備化同構於一個斜勞侖級數環 $B$。主要貢獻在於提出一個一般性框架，連結非交換 Iwasawa 理論中的局部化與完備化，並應用於 Iwasawa 代數與 $p$-進 Hodge 理論。

ABSTRACT

This paper is a natural continuation of the study of skew power series rings A initiated in [P. Schneider and O. Venjakob, On the codimension of modules over skew power series rings with applications to Iwasawa algebras, J. Pure Appl. Algebra 204 (2005), 349 - 367.]. We construct skew Laurent series rings B and show the existence of some canonical Ore sets S for the skew power series rings A such that a certain completion of the localisation A_S is isomorphic to B. This is applied to certain Iwasawa algebras. Finally we introduce subrings of overconvergent skew Laurent series rings.

研究动机与目标

• 建立斜勞侖級數環 $B = R((t;\sigma,\delta))$ 的標準構造，作為斜冪級數環 $A = R[[t;\sigma,\delta]]$ 局部化的完備化。
• 證明局部化 $A_S$ 在標準 Ore 集 $S$ 上的完備化同構於一個斜勞侖級數環 $B$，從而減少對大量元素求逆的需求。
• 引入並研究過收斂的斜勞侖級數環，推廣 $p$-進 Hodge 理論中的概念。
• 將結果應用於 Iwasawa 代數，證明所構造的環在 $A$ 和 $A_S$ 上為偽緊、諾特且平坦。

提出的方法

• 將斜勞侖級數環 $B = R\ll t;\sigma,\delta]]$ 構造為阿廷商環 $R/I_k$ 上的斜勞侖級數環的投影極限，確保具有明確定義的拓撲環結構。
• 透過形式無限級數 $\sum_{i\in\mathbb{Z}} r_i t^i$ 及負次冪部分的增長條件定義 $B$，並使用明確的乘法法則 (1.12)-(1.15)。
• 引入標準的 Ore 集 $S = \mathcal{C}_A(\ker \pi)$，其中 $\pi: A \twoheadrightarrow (R/\mathrm{Jac}(R))[[t;\overline{\sigma}]]$，在條件 $\delta(R) \subseteq \mathrm{Jac}(R)$ 下成立。
• 透過命題 2.27 證明：由 $I_\bullet$ 導出的濾子下 $A_S$ 的完備化同構於 $B$。
• 利用範數條件 $\lim_{i\to -\infty} |a_i| u^i = 0$ 定義過收斂子環 $B(|\,|;u)$，並證明其在乘法下封閉。
• 使用理想範數與濾子，確保拓撲與代數上的有限性條件，進而實現 $B$ 及其過收斂子環的構造。

实验结果

研究问题

• RQ1 斜冪級數環 $A = R[[t;\sigma,\delta]]$ 在標準 Ore 集 $S$ 上的局部化能否經完備化得到一個斜勞侖級數環？
• RQ2 在何種條件下，所得的完備化 $B$ 同構於具有受控負次冪部分的無限勞侖級數的拓撲環？
• RQ3 如何定義 $B$ 的過收斂子環，並證明其在乘法下封閉？
• RQ4 在 Iwasawa 代數的脈絡下，局部化 $A_S$ 與斜勞侖級數環 $B$ 之間的關係為何？
• RQ5 能否利用濾子與範數將 $B$ 的構造推廣至非阿廷環？

主要发现

• 局部化 $A_S$ 的完備化同構於斜勞侖級數環 $B$，顯示僅需對 $t$ 求逆並完備化，即可得到 $B$。
• 環 $B$ 構造為投影極限 $\varprojlim_k (R/I_k)((t;\overline{\sigma},\overline{\delta}))$，確保具有明確定義的拓撲環結構。
• 在命題 1.15 的準則下，斜勞侖級數環 $B$ 為左與右 $A$-模的諾特環與平坦環。
• 過收斂子環 $B(|\,|;u)$ 在乘法下封閉，如命題 4.1 所示，對任意 $D < u < 1$ 成立。
• 在標準條件下，環 $B^\dagger(|\,|) = \bigcup_u B(|\,|;u)$ 的定義與理想範數的選擇無關，如推論 4.2 與註記 4.3 所示。
• 對於 Iwasawa 代數，所構造的環 $B$ 為偽緊、諾特，且在 $A$ 與 $A_S$ 上平坦，如定理 3.7 所確立。