[论文解读] Localised Boundary-Domain Singular Integral Equations of Acoustic Scattering by Inhomogeneous Anisotropic Obstacle

O. Chkadua, Sergey E. Mikhailov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Differential Equations and Boundary Problems被引用 1

一句话总结

本文通过使用局部化边界-域积分方程，形式化并求解了各向异性非均匀障碍物在各向异性介质中的时谐声散射问题。通过采用基于调和基本解的准参数解，将传输问题约化为一组奇异的局部化边界-域积分方程，其弗雷德霍姆性质和可逆性在索伯列夫-斯洛博茨基和贝塞尔势空间中得到确立，从而确保了解的存在性与唯一性。

ABSTRACT

We consider the time-harmonic acoustic wave scattering by a bounded {\it anisotropic inhomogeneity} embedded in an unbounded {\it anisotropic} homogeneous medium. The material parameters may have discontinuities across the interface between the inhomogeneous interior and homogeneous exterior regions. The corresponding mathematical problem is formulated as a transmission problems for a second order elliptic partial differential equation of Helmholtz type with discontinuous variable coefficients. Using a localised quasi-parametrix based on the harmonic fundamental solution, the transmission problem for arbitrary values of the frequency parameter is reduced equivalently to a system of {\it singular localised boundary-domain integral equations}. Fredholm properties of the corresponding {\it localised boundary-domain integral operator} are studied and its invertibility is established in appropriate Sobolev-Slobodetskii and Bessel potential spaces, which implies existence and uniqueness results for the localised boundary-domain integral equations system and the corresponding acoustic scattering transmission problem.

研究动机与目标

• 研究在界面处材料参数具有不连续性的各向异性介质中的声波散射问题。
• 将散射问题形式化为具有变系数和不连续系数的亥姆霍兹型偏微分方程的传输问题。
• 开发一种局部化积分方程方法，以处理任意频率值和材料不连续性。
• 在函数空间中建立所得边界-域积分算子的弗雷德霍姆性质和可逆性。
• 证明积分方程系统和原始传输问题的解的存在性与唯一性。

提出的方法

• 利用调和基本解构造局部化准参数解，以处理变系数问题。
• 通过积分表示技术，将传输问题约化为一组奇异的局部化边界-域积分方程系统。
• 该方法适用于任意频率，并能处理界面处材料参数的不连续性。
• 在索伯列夫-斯洛博茨基和贝塞尔势空间中分析所得局部化边界-域积分算子的弗雷德霍姆性质。
• 在这些函数空间中证明了算子的可逆性，从而确保了积分系统的适定性。
• 该方法能够统一处理各向异性、非均匀介质中的内部和外部散射问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将各向异性非均匀障碍物的声散射问题形式化为具有不连续系数的边界-域积分方程系统？
• RQ2 所得局部化边界-域积分算子在函数空间中的弗雷德霍姆性质是什么？
• RQ3 在任意频率条件下，该积分算子在索伯列夫-斯洛博茨基和贝塞尔势空间中是否仍保持可逆性？
• RQ4 能否为积分方程系统和原始传输问题建立解的存在性与唯一性？
• RQ5 基于调和基本解的准参数解如何实现对变系数和不连续系数的处理？

主要发现

• 时谐声散射在各向异性非均匀介质中的传输问题被等价地约化为一组奇异的局部化边界-域积分方程系统。
• 证明了局部化边界-域积分算子在索伯列夫-斯洛博茨基和贝塞尔势空间中具有弗雷德霍姆性质。
• 在指定函数空间中确立了积分算子的可逆性，从而确保了系统的可解性。
• 证明了积分方程系统和原始传输问题的解的存在性与唯一性。
• 该方法适用于频率参数的任意取值，并能处理界面处材料参数的不连续性。
• 该方法为使用局部化积分公式求解复杂各向异性、非均匀介质中的散射问题提供了稳健的框架。