[论文解读] Locality in Online, Dynamic, Sequential, and Distributed Graph Algorithms

Amirreza Akbari, Eslami, Navid+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2021

Cryptography and Data Security被引用 6

一句话总结

本文提出了在线-LOCAL 模型，这是一个统一分析在线、动态、序列及分布式图算法中局部性的框架。研究证明，在路径、环和有根树中的局部可检查标记（LCL）问题中，这四种模型的局部性类完全等价——即 O(log∗n)、Θ(log n) 或 nΘ(1)——从而实现了不同模型间下界转移与高效模拟。

ABSTRACT

In this work, we give a unifying view of locality in four settings: distributed algorithms, sequential greedy algorithms, dynamic algorithms, and online algorithms. We introduce a new model of computing, called the online-LOCAL model: the adversary reveals the nodes of the input graph one by one, in the same way as in classical online algorithms, but for each new node we get to see its radius-T neighborhood before choosing the output. We compare the online-LOCAL model with three other models: the LOCAL model of distributed computing, where each node produces its output based on its radius-T neighborhood, its sequential counterpart SLOCAL, and the dynamic-LOCAL model, where changes in the dynamic input graph only influence the radius-T neighborhood of the point of change. The SLOCAL and dynamic-LOCAL models are sandwiched between the LOCAL and online-LOCAL models, with LOCAL being the weakest and online-LOCAL the strongest model. In general, all models are distinct, but we study in particular locally checkable labeling problems (LCLs), which is a family of graph problems studied in the context of distributed graph algorithms. We prove that for LCL problems in paths, cycles, and rooted trees, all models are roughly equivalent: the locality of any LCL problem falls in the same broad class - $O(\log^* n)$, $Θ(\log n)$, or $n^{Θ(1)}$ - in all four models. In particular, this result enables one to generalize prior lower-bound results from the LOCAL model to all four models, and it also allows one to simulate e.g. dynamic-LOCAL algorithms efficiently in the LOCAL model. We also show that this equivalence does not hold in general bipartite graphs. We provide an online-LOCAL algorithm with locality $O(\log n)$ for the $3$-coloring problem in bipartite graphs - this is a problem with locality $Ω(n^{1/2})$ in the LOCAL model and $Ω(n^{1/10})$ in the SLOCAL model.

研究动机与目标

• 统一研究四种算法模型（分布式、序列贪心、动态、在线）中的局部性。
• 提出并形式化在线-LOCAL 模型，其中算法可在新节点被揭示后查看其半径-T 邻域。
• 建立在线-LOCAL 模型与现有模型（LOCAL、SLOCAL 和 dynamic-LOCAL）之间的关系。
• 探究在结构化图中，是否 LOCAL 模型中的局部性结果可推广至其他模型，尤其是 LCL 问题。
• 识别出模型在何种情况下等价，何种情况下分歧，特别是在结构化图与一般图中的表现差异。

提出的方法

• 提出在线-LOCAL 模型，其中每个节点依次被揭示，算法在决策前可观察其半径-T 邻域。
• 将在线-LOCAL 与三种现有模型（LOCAL（分布式）、SLOCAL（序列贪心）、dynamic-LOCAL（动态图更新））进行比较。
• 使用夹逼论证法，证明 SLOCAL 和 dynamic-LOCAL 在表达能力上严格介于 LOCAL 与在线-LOCAL 之间。
• 采用基于证书的技术，证明在线-LOCAL 中的次对数局部性意味着 LOCAL 模型中存在 O(log∗n) 可解性。
• 构建大规模的完整 δ-叉树族，以模拟算法行为，并推导出 O(log∗n) 可解性的可验证条件。
• 将该方法应用于证明路径、环和有根正则树中 LCL 问题的局部性类等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在结构化图中，四种模型（在线-LOCAL、SLOCAL、dynamic-LOCAL 和 LOCAL）对 LCL 问题的局部性是否等价？
• RQ2 能否将 LOCAL 模型中的下界结果转移到在线-LOCAL 模型及其他模型？
• RQ3 在在线-LOCAL 模型中，二分图 3-着色问题的局部性与 LOCAL 模型相比如何？
• RQ4 在一般图（如二维网格或二分图）中，模型间的等价性是否失效？
• RQ5 在线-LOCAL 算法能否以显著低于 LOCAL 模型的局部性解决某些问题？

主要发现

• 对于路径、环和有根正则树中的 LCL 问题，四种模型（LOCAL、SLOCAL、dynamic-LOCAL、online-LOCAL）的局部性类完全相同：O(log∗n)、Θ(log n) 或 nΘ(1)。
• 在线-LOCAL 模型中，3-着色二分图问题的局部性为 O(log n)，而该问题在 LOCAL 模型中局部性为 Ω(n1/2)，在 SLOCAL 模型中为 Ω(n1/10)。
• 在二维网格和一般二分图中，模型间的等价性被打破，此时在线-LOCAL 模型的局部性显著优于 LOCAL 模型。
• 若某 LCL 问题存在局部性低于 log n 的在线-LOCAL 算法，则其在 LOCAL 模型中必然存在可验证的 O(log∗n) 解法。
• 该结果使得动态-LOCAL 算法可在 LOCAL 模型中高效模拟，并可将 LOCAL 模型的下界推广至其他模型。
• 本文证明在线-LOCAL 模型严格强于 LOCAL 模型，且 SLOCAL 和 dynamic-LOCAL 恰好位于两者之间。