[论文解读] Localization and Chern numbers for weakly disordered BdG operators

Maxim Drabkin, Giuseppe De Nittis+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文使用Aizenman-Molchanov方法，在弱无序Bogoliubov-de Gennes（BdG）算符的中心能隙中建立了安德森局域化，证明了零能附近存在局域态。此外，通过酉矩阵传递和贝里相位方法计算了$p+\imath p$与$d+\imath d$波超导体的陈数，展示了在能隙存在下非平庸的拓扑不变量（$-1$、$1$ 和 $\mp 2$）。

ABSTRACT

After a short discussion of various random Bogoliubov-de Gennes (BdG) model operators and the associated physics, the Aizenman-Molchanov method is applied to prove Anderson localization in the weak disorder regime for the spectrum in the central gap. This allows to construct random BdG operators which have localized states in an interval centered at zero energy. Furthermore, techniques for the calculation of Chern numbers are reviewed and applied to two non-trivial BdG operators, the p+ip wave and d+id wave superconductors.

研究动机与目标

• 使用Aizenman-Molchanov方法，在弱无序BdG算符的中心能隙中严格建立安德森局域化。
• 通过在零能附近构造局域态，证明拓扑不变量在无序BdG系统中的稳定性。
• 使用分析与数值技术，计算非平庸BdG模型的陈数，特别是$p+\imath p$与$d+\imath d$波超导体。
• 表明费米投影的陈数在弱无序下具有鲁棒性，并可通过酉转移矩阵或围绕奇点的环积分进行计算。

提出的方法

• 应用Aizenman-Molchanov方法，证明在弱无序下BdG哈密顿量的中心能隙中存在指数局域化。
• 从BdG哈密顿量的块结构构造转移矩阵$T(k_1)$，以分析谱性质并识别收缩特征子空间。
• 从$T(k_1)$的收缩特征子空间定义一个$2r \times 2r$酉矩阵$U(k_1)$，其通过贝里相位积分编码陈数。
• 使用公式$\text{Ch}(P_\mu) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dk_1}{2\pi i} \text{Tr}(U^* \partial_{k_1} U)$，从酉矩阵$U(k_1)$计算陈数。
• 对于$d+\imath d$模型，通过在动量空间奇点周围对相位函数$\theta(k)$进行环积分来计算陈数。
• 应用归一化本征函数与过渡函数的方法，处理向量丛中的奇点，从而在存在零点的情况下实现陈数的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在弱无序BdG算符的中心能隙中严格建立安德森局域化？
• RQ2 在弱无序的随机BdG模型中，零能附近的局域态是否会出现，且是否稳定？
• RQ3 在存在能隙的情况下，$p+\imath p$与$d+\imath d$波超导体的费米投影的陈数是多少？
• RQ4 如何可靠地计算在布洛赫丛中存在奇点的BdG哈密顿量的陈数？
• RQ5 在具有粒子--hole对称性的BdG系统中，拓扑不变量（陈数）在弱无序下是否稳定？

主要发现

• 使用Aizenman-Molchanov方法，在弱无序BdG算符的中心能隙中证明了安德森局域化，确保了零能附近的局域态存在。
• 对于$p+\imath p$波超导体，当$\mu = -0.5$和$\mu = -0.01$时，陈数为$-1$；当$\mu = 0.01$时，陈数为$+1$，在$\mu = 0$处能隙闭合，出现相变。
• 对于$d+\imath d$波超导体，当$\mu < 4$时陈数为$-2$，当$\mu > -4$时为$+2$，当$|\mu| > 4$时陈数为零。
• 陈数通过酉矩阵$U(k_1)$计算得出，该矩阵由转移矩阵$T(k_1)$的收缩特征子空间导出，且满足$\text{Ch}(P_\mu) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dk_1}{2\pi i} \text{Tr}(U^* \partial_{k_1} U)$。
• 对于$d+\imath d$模型，通过在奇点$k_I = (0,0)$与$k_{II} = (\pi,\pi)$周围对相位$\theta(k)$进行环积分，计算出陈数为$\mp 2$，证实了能隙中非平庸的拓扑结构。
• 费米投影的陈数在弱无序下保持稳定，只要中心能隙保持打开，拓扑不变量即具有鲁棒性。