[论文解读] Localization, completions and metabelian groups

Gilbert Baumslag, Roman Mikhailov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 2

一句话总结

本文引入了有限生成、剩余幂零的可解群的para-G等价概念，证明其为等价关系，可捕捉有限表示性等共同结构性质。通过局部化、类域论与构造性交换代数，作者证明了下中央列商群的无 torsion 秩序列是可计算的，并为未来算法计算有理 Poincaré 系列奠定基础，推动了可解群的同构问题研究。

ABSTRACT

If G and H are finitely generated, residually nilpotent metabelian groups, H is termed para-G if there is a homomorphism of G into H which induces an isomorphism between the corresponding terms of their lower central quotient groups. We prove that this is an equivalence relation. It is a much coarser relation than isomorphism, our ultimate concern. It turns out that many of the groups in a given equivalence class share various properties including finite presentability. There are examples, such as the lamplighter group, where an equivalence class consists of a single isomorphism class and others where this is not the case. We give several examples where we solve the Isomorphism Problem. We prove also that the sequence of torsion-free ranks of the lower central quotients of a finitely generated metabelian group is computable. In a future paper we plan on proving that there is an algorithm to compute the numerator and denominator of the rational Poincare series of a finitely generated metabelian group and will carry out this computation in a number of examples, which may shed a tiny bit of light on the Isomorphism Problem. Our proofs use localization, class field theory and some constructive commutative algebra.

研究动机与目标

• 定义并分析有限生成、剩余幂零的可解群之间的一种更粗略的等价关系——para-G，其基于下中央列商群的同构。
• 研究同一 para-G 等价类中的群是否共享如有限表示性等结构性质。
• 通过识别 para-G 等价蕴含同构的条件，解决可解群的同构问题。
• 证明有限生成可解群的下中央列商群的无 torsion 秩序列是可计算的。
• 为未来工作中算法化计算此类群的有理 Poincaré 系列奠定基础。

提出的方法

• 使用群局部化技术，将可解群的结构与其下中央列商群联系起来。
• 应用类域论分析可解群的上同调与算术性质。
• 运用构造性交换代数处理群环及其相关模的代数结构。
• 通过诱导下中央列商群同构的同态定义 para-G 等价，并证明该关系具有自反性、对称性与传递性。
• 利用群表示导出的代数不变量计算下中央列商群的无 torsion 秩。
• 计划在未来工作中将结果扩展，以算法化方式计算有理 Poincaré 系列的分子与分母。

实验结果

研究问题

• RQ1 由下中央列商群同构定义的 para-G 关系，是否构成有限生成、剩余幂零的可解群类上的等价关系？
• RQ2 同一 para-G 等价类中的群在多大程度上共享如有限表示性等性质？
• RQ3 可解群的同构问题是否可在 para-G 等价类内解决？para-G 等价在何种条件下蕴含同构？
• RQ4 有限生成可解群的下中央列商群的无 torsion 秩序列是否可计算？
• RQ5 能否开发一种算法以计算有限生成可解群的有理 Poincaré 系列？

主要发现

• 证明 para-G 关系是有限生成、剩余幂零的可解群类上的等价关系。
• 同一 para-G 等价类中的群通常共享关键结构性质，包括有限表示性。
• 存在例子（如电灯工人群）表明，某个 para-G 等价类中仅包含一个同构类。
• 也存在 para-G 等价类中包含多个非同构群的例子，表明该关系的粗略性。
• 利用所提出的方法，有限生成可解群的下中央列商群的无 torsion 秩序列是可计算的。
• 本文建立了基础工具——通过局部化、类域论与构造性交换代数——为未来工作中实现有理 Poincaré 系列的算法化计算提供支持。