[论文解读] Localization for nonabelian group actions

Lisa C. Jeffrey, Frances Kirwan|ArXiv.org|Jul 6, 1993

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用 23

一句话总结

本文通过局部化技术和等变上同调，建立了一个用于计算非交换李群作用下辛商空间 ${\cal M}_X = \mu^{-1}(0)/K$ 的基本类上上同调类取值的留数公式。关键贡献在于提出一个公式，将 $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ 表示为关于极大环面固定点分支的等变类限制，从而实现对交积对偶的计算，进而确定 $H^*(\mathcal{M}_X)$ 的上同调环结构。

ABSTRACT

Suppose $X$ is a compact symplectic manifold acted on by a compact Lie group $K$ (which may be nonabelian) in a Hamiltonian fashion, with moment map $μ: X o { m Lie}(K)^*$ and Marsden-Weinstein reduction $\xred = μ^{-1}(0)/K$. There is then a natural surjective map $κ_0$ from the equivariant cohomology $H^*_K(X) $ of $X$ to the cohomology $H^*(\xred)$. In this paper we prove a formula (Theorem 8.1, the residue formula) for the evaluation on the fundamental class of $\xred$ of any $η_0 \in H^*(\xred)$ whose degree is the dimension of $\xred$, provided that $0$ is a regular value of the moment map $μ$ on $X$. This formula is given in terms of any class $η\in H^*_K(X)$ for which $κ_0(η) = η_0$, and involves the restriction of $η$ to $K$-orbits $KF$ of components $F \subset X$ of the fixed point set of a chosen maximal torus $T \subset K$. Since $κ_0$ is

研究动机与目标

• 确定当 $0$ 是 момента́льного отображения 的正则值时，辛商空间 $\mathcal{M}_X = \mu^{-1}(0)/K$ 的上同调环结构。
• 通过交积对偶提供一种替代 $\kappa_0: H^*_K(X) \to H^*(\mathcal{M}_X)$ 的核计算的方法。
• 建立一个留数公式，用于计算任意上同调类 $\eta_0 \in H^*(\mathcal{M}_X)$ 在最高维上同调类上的取值 $\eta_0[\mathcal{M}_X]$。
• 使用相同技术对 Witten 的非交换局部化公式给出一个新的证明。

提出的方法

• 利用极大环面作用的阿贝尔局部化定理，将上推导表示为固定点贡献的和。
• 应用辛形式在 $\mu^{-1}(0)$ 附近的等变正规型，分析其局部行为。
• 将等变类 $\eta \in H^*_K(X)$ 限制到极大环面 $T \subset K$ 作用下的固定点分支 $F$ 的 $K$-轨道 $KF$ 上。
• 构造一个留数公式（定理 8.1），通过涉及权重和权重乘积的固定点分支求和来计算 $\eta_0[\mathcal{M}_X]$。
• 利用自然同构 $\pi_0^*: H^*(\mathcal{M}_X) \to H^*_K(\mu^{-1}(0))$ 建立等变上同调与商空间上同调之间的联系。
• 通过多项式恒等式与二项式展开，验证公式对 $\kappa_0$ 的核中类的留数为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $0$ 是 момента́льного отображения 的正则值时，如何从等变上同调 $H^*_K(X)$ 计算 $H^*(\mathcal{M}_X)$ 的上同调环结构？
• RQ2 能否推导出一个留数公式，利用固定点数据计算 $\mathcal{M}_X$ 上最高维类的取值？
• RQ3 该留数公式是否为确定 $H^*(\mathcal{M}_X)$ 的生成元与关系提供了一种实用方法？
• RQ4 能否通过此留数方法重新推导 Witten 的非交换局部化公式？
• RQ5 哪些条件能保证某些留数项的消失？这与 $\kappa_0$ 的核有何关联？

主要发现

• 留数公式（定理 8.1）将 $\eta_0[\mathcal{M}_X]$ 表示为 $T$-作用固定点分支 $F$ 的和，涉及 $\eta$ 在每个 $F$ 上的限制以及该点处的权重乘积。
• 该公式使得能够通过交积对偶，从 $H^*_K(X)$ 的生成元与关系推导出 $H^*(\mathcal{M}_X)$ 的生成元与关系。
• $\kappa_0$ 的核由满足 $\kappa_0(\eta) = \eta_0$ 的所有 $\eta$ 满足 $\eta_0[\mathcal{M}_X] = 0$ 的条件刻画，这等价于留数公式的消失。
• 该留数公式被用于对 Witten 的非交换局部化公式给出一个新的证明，通过固定点分析确认其有效性。
• 通过多项式恒等式证明了某些留数项的消失：$\sum_{k=0}^r (-1)^k \binom{r}{k} k^s = 0$ 对于 $s \leq r-2$ 成立，这由 $(1 - e^\lambda)^r$ 的展开式导出。
• 在 $K = SU(2)$ 作用下的 $\mathbb{P}^N$ 情形中，公式确认 $P_+(\xi,\alpha)$ 和 $P_-(\xi,\alpha)/\alpha$ 生成了 $H^*_K(\mathbb{P}^N) \to H^*(\mathcal{M}_X)$ 的核。