[论文解读] Localization Formulae in odd K-theory

Florentiu Daniel Cibotaru|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2022

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于复希尔伯特空间中拉格朗日子空间的格拉斯曼流形的奇K-理论几何框架，其中施伯曼流形作为上同调环生成元的几何代表。研究证明谱流对应于第一个生成元，并为闭流形上自伴弗雷德霍姆算子族的上拉类的庞加莱对偶提供了局部化公式。

ABSTRACT

We describe a class of real Banach manifolds, which classify $K^{-1}$. These manifolds are Grassmannians of (hermitian) lagrangian subspaces in a complex Hilbert space. Certain finite codimensional real subvarieties described by incidence relations define geometric representatives for the generators of the cohomology rings of these classifying spaces. Any family of self-adjoint, Fredholm operators parametrized by a closed manifold comes with a map to one of these spaces. We use these Schubert varieties to describe the Poincare duals of the pull-backs to the parameter space of the cohomology ring generators. The class corresponding to the first generator is the spectral flow.

研究动机与目标

• 使用复希尔伯特空间中的拉格朗日格拉斯曼流形，为K^{-1}的分类空间构造一个几何模型。
• 将有限余维的施伯曼流形识别为这些分类空间上同调环生成元的几何代表。
• 为闭流形上自伴弗雷德霍姆算子族的上拉类的庞加莱对偶提供局部化公式。
• 在该框架中，将第一个上同调生成元表征为谱流不变量。

提出的方法

• 在复希尔伯特空间中构造（厄米）拉格朗日子空间的格拉斯曼流形，作为K^{-1}的分类空间。
• 利用由关联关系定义的有限余维实子簇——施伯曼流形——来表示上同调环生成元。
• 在闭流形上，一族自伴弗雷德霍姆算子诱导到这些格拉斯曼流形之一的分类映射。
• 通过这些施伯曼流形的同调类，几何地实现上同调生成元的上拉类的庞加莱对偶。
• 将谱流不变量识别为上同调环第一个生成元所对应的类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用无穷维格拉斯曼流形，几何地实现K^{-1}的分类空间？
• RQ2 有限余维的施伯曼流形在这些分类空间的上同调环生成元表示中起什么作用？
• RQ3 如何利用几何周期描述来自算子族的上拉类的庞加莱对偶？
• RQ4 谱流在K-理论和上同调论中的几何解释是什么？

主要发现

• 复希尔伯特空间中拉格朗日子空间的格拉斯曼流形为K^{-1}提供了分类空间。
• 由关联关系定义的施伯曼流形是该分类空间上同调环生成元的几何代表。
• 谱流被识别为对应于上同调环第一个生成元的类。
• 自伴弗雷德霍姆算子族的上拉类的庞加莱对偶由这些施伯曼流形的同调类表示。