[论文解读] Localization in Homotopy Type Theory

J. Daniel Christensen, Morgan Opie+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文在同伦类型论中发展了局部化理论，证明了对于带有基点的单连通类型，对素数的局部化会在所有同伦群上诱导代数 p-局部化。通过反射子范畴和 L'-局部化的构造，作者证明了环路空间与局部化可交换，并完全刻画了 Eilenberg-Mac Lane 空间的局部化，为直觉主义、构造性设定下的代数局部化提供了同伦基础。

ABSTRACT

We study localization at a prime in homotopy type theory, using self maps of the circle. Our main result is that for a pointed, simply connected type $X$, the natural map $X o X_{(p)}$ induces algebraic localizations on all homotopy groups. In order to prove this, we further develop the theory of reflective subuniverses. In particular, we show that for any reflective subuniverse $L$, the subuniverse of $L$-separated types is again a reflective subuniverse, which we call $L'$. Furthermore, we prove results establishing that $L'$ is almost left exact. We next focus on localization with respect to a map, giving results on preservation of coproducts and connectivity. We also study how such localizations interact with other reflective subuniverses and orthogonal factorization systems. As key steps towards proving the main theorem, we show that localization at a prime commutes with taking loop spaces for a pointed, simply connected type, and explicitly describe the localization of an Eilenberg-Mac Lane space $K(G,n)$ with $G$ abelian. We also include a partial converse to the main theorem.

研究动机与目标

• 在不依赖排中律或选择公理等经典原理的前提下，发展一种构造性、同伦不变的同伦类型论中的局部化理论。
• 证明对素数 p 的局部化会在带有基点的单连通类型的同伦群上诱导代数 p-局部化。
• 通过引入 L-分离类型的子范畴并证明其为反射子范畴，推广反射子范畴理论，同时证明 L'-局部化保持关键的同伦性质。
• 证明局部化与环路空间及截断可交换，从而实现对 Eilenberg-Mac Lane 空间局部化的计算。
• 以构造性、代数化方法，在阿贝尔群范畴中独立于经典同伦理论，证明远离集合 S 的阿贝尔群局部化的等价性。

提出的方法

• 引入并研究反射子范畴 L，重点关注定义为其中恒等类型为 L-局部化的类型的子范畴，即 L-分离类型。
• 通过并集构造和依赖归纳法，构造 L'-局部化为 L-分离类型的反射子范畴，并证明其反射性。
• 证明单位映射 X → L'X 在恒等类型上诱导 L-局部化，因此有 ΩL'X ≃ LΩX，从而确立局部化与环路空间的可交换性。
• 利用同伦等价的 universes 构造 L'-局部化的受限依赖消除原则，以保持纤维序列和拉回的性质。
• 证明当 L = L_f 时，子范畴 L_{Σf} 对应于 L'-局部化，从而可将结果转移至关于映射族的局部化。
• 证明当 ||f||_n 为同构时，L_f 保持 n-连通性，并利用此性质分析局部化下的截断与纤维序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在同伦类型论中，对素数 p 的局部化是否会在带有基点的单连通类型的同伦群上诱导代数 p-局部化？
• RQ2 L-分离类型的子范畴是否可被证明为反射子范畴？其局部化函子 L' 是否保持关键的同伦结构，如拉回和纤维序列？
• RQ3 在不使用 Whitehead 定理的构造性、直觉主义设定下，局部化如何与环路空间及截断相互作用？
• RQ4 在同伦类型论中，相对于映射 f 的局部化在多大程度上与环路空间和截断运算可交换？
• RQ5 能否仅使用构造性、同伦的方法，在阿贝尔群范畴中构造并证明远离集合 S 的阿贝尔群局部化等价？

主要发现

• 对任意带有基点的单连通类型 X 及素数 p，自然映射 X → X_{(p)} 在所有同伦群 π_n(X) → π_n(X_{(p)}) 上诱导代数 p-局部化，其中 n ≥ 2。
• L-分离类型的子范畴是反射子范畴，其局部化函子 L' 满足 ΩL'X ≃ LΩX，因此局部化与环路空间可交换。
• 对素数的局部化与截断可交换，因此当 n ≥ 1 时有 ||L_{deg(S)}X||_n ≃ L_{deg(S)}||X||_n。
• 阿贝尔群 G 的 Eilenberg-Mac Lane 空间 K(G,n) 的局部化为 K(G_{(S)},n)，其中 G_{(S)} 是 G 的 S-局部化。
• 远离集合 S 的阿贝尔群 G 的局部化同构于乘以 S 中元素的序列 G → G → G → ... 的上极限，且该构造在阿贝尔群范畴中成立。
• 存在一个部分逆定理：若一个映射 f 在带有基点的单连通 n-类型之间，对所有 m > 1 的 π_m 均诱导代数 S-局部化，则 f 是 deg(S)-局部化。