[论文解读] Localization of certain odd-dimensional manifolds with torus actions

Chen He|Osaka City University (Osaka City University)|Aug 15, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过引入三维1-骨架的GKM型定理，将GKM理论推广至具有环面作用的奇数维流形，利用GKM图对等变上同调提供图形化描述。该研究建立了某些奇数维流形的等变上同调与多项式环模关系之间的环同构，将偶数维GKM理论推广至非可定向、奇数维情形，且无需假设可定向性或共维数一作用的对称性。

ABSTRACT

Let a torus $T$ act smoothly on a compact smooth manifold $M$. If the rational equivariant cohomology $H^*_T(M)$ is a free $H^*_T(pt)$-module, then according to the Chang-Skjelbred Lemma, it can be determined by the $1$-skeleton consisting of the $T$-fixed points and $1$-dimensional $T$-orbits of $M$. When $M$ is an even-dimensional, orientable manifold with 2-dimensional 1-skeleton, Goresky, Kottwitz and MacPherson gave a graphic description of the equivariant cohomology. In this paper, first we revisit the even-dimensional GKM theory and introduce a notion of GKM covering, then we consider the case when $M$ is an odd-dimensional, possibly non-orientable manifold with $3$-dimensional $1$-skeleton, and give a graphic description of its equivariant cohomology.

研究动机与目标

• 将GKM理论从偶数维推广至具有环面作用的奇数维流形。
• 为具有三维1-骨架的奇数维、可能非可定向流形，发展等变上同调的图形化描述。
• 在偶数维情形引入GKM覆叠的概念，以支持奇数维情形的推广。
• 在不假设可定向性或对称共维数一结构的前提下，提供等变上同调的环同构，其形式为多项式环与同余关系的商。

提出的方法

• 重新审视偶数维GKM理论，并通过定义GKM覆叠，将框架扩展至奇数维。
• 基于固定点的同伦权与轨道结构，为具有三维1-骨架的奇数维流形定义GKM条件。
• 从1-骨架构造GKM图，通过边标签编码固定点与一维轨道，边标签对应于同伦权。
• 利用Chang-Skjelbred引理，将等变上同调实现为固定点上同调的子环，其条件为边上的同余关系。
• 基于GKM图数据，建立奇数维流形的等变上同调与多项式环商的环同构。
• 将该方法应用于多个例子，包括偶数维与奇数维GKM流形的乘积、接触流形与共辛流形，以及奇数维格拉斯曼流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将GKM理论推广至具有环面作用的奇数维流形，特别是当1-骨架为三维时？
• RQ2 在流形非可定向的情况下，何种条件可确保奇数维流形的等变上同调由其1-骨架唯一确定？
• RQ3 能否利用GKM图与同余关系，为奇数维流形构造等变上同调的图形化描述？
• RQ4 偶数维情形的GKM覆叠构造如何支持奇数维情形的推广？
• RQ5 在不假设 $K_-=K_+$ 或可定向性的前提下，奇数维共维数一流形的等变上同调环具有何种结构？

主要发现

• 具有三维1-骨架的奇数维、可能非可定向流形的等变上同调，同构于固定点等变上同调的乘积的子环，其条件为GKM图边上满足的同余关系。
• 对于七维流形 $N_G^7$，其等变上同调环同构于 $H^*_{T^3}(b{C}P^2)[r]/r^2$，与结构 $H^*_{T^3}(b{C}P^2) imes H*(S^3)$ 一致。
• $N_G^7$ 的GKM图由三个内点 $oxplus$（代表 $S^2 imes S^1$）和三个外点 $oxplus$（代表 $S^3$）构成，边标签对应于权差 $eta_i = eta_j - eta_k$。
• 上同调类的同余关系通过六组模条件编码于分量 $f_i, g_i$ 上，其中 $g_i$ 被对应边标签整除。
• 该方法的推广超越了可定向或对称共维数一流形的限制，如构造 $M o G imes_{K_0} S^{n_0+1}$ 时无需假设 $K_- = K_+$。
• 该框架在一般情形下不依赖可定向性或等变形式性，与先前假设可定向性的共维数一结果形成鲜明对比。