[论文解读] Localization of particles in quantum field theory

W. Westra|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 63被引用 3

一句话总结

本文通过用双线性、协变的位置算符替代非局域的牛顿-温格定位算符，提出了一种标量量子场论的协变、局域概率诠释，实现了一致的粒子局域化。通过引入负频率模并使用惠勒传播子和哈达玛两点函数，该框架恢复了爱因斯坦定域性，并从相对论波函数推导出海森堡不确定性关系，从而在第一量子化框架下实现了类似哥本哈根诠释的量子场论诠释。

ABSTRACT

We put forward an interpretation of scalar quantum field theory as relativistic quantum mechanics by curing well known problems related to locality. A probabilistic interpretation of quantum field theory similar to quantum mechanics is difficult if particle localization is defined using the Newton-Wigner position operator as it is non-local and non-covariant. An alternative bilinear covariant position operator is discussed which incorporates a time operator that can be exponentiated to a unitary operator. Moreover, it satisfies an algebra that unifies special relativity and quantum mechanics and has the same form for particles with spin. Higher power position operators are derived which yield Heisenberg's uncertainty relations. Our ideas are illustrated with a relativistic wave function whose probability density can be perfectly localized.

研究动机与目标

• 解决标准相对论性量子力学与量子场论中的非局域性与定域性问题。
• 为标量量子场论提供一种一致的第一量子化形式，其概率诠释类似于非相对论性量子力学。
• 用双线性、协变的替代算符取代非协变、非局域的牛顿-温格位置算符，以支持高阶矩算符。
• 在相对论性量子场论框架内恢复海森堡不确定性原理。
• 建立一个包含正负频率模的洛伦兹不变概率密度。

提出的方法

• 引入一种新概率密度，使用场及其希尔伯特变换，其形式等价于标准的克莱因-戈登形式，但以对称处理正负频率分量的基底表达。
• 使用惠勒传播子（费曼传播子的实部）作为时间有序演化核，确保因果时间演化，并取代非因果的费曼传播子。
• 定义一个双线性、协变的位置算符，其推广了薛定谔绘景中的位置算符，且在位置空间与动量空间中均避免非局域项。
• 推导出高阶矩算符，其相对于相对论归一化的波函数为厄米特算符，从而实现不确定性关系的推导。
• 从哈达玛两点函数（统计传播子）构造概率密度，确保其正定性与洛伦兹不变性，且不局限于正频率。
• 证明实标量场的时间有序演化由对易子两点函数控制，其与由哈达玛函数定义的概率内积不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在标量量子场论中实现局域、协变且概率上一致的粒子局域化？
• RQ2 如何在不破坏局域性的前提下，通过相对论波函数演化恢复爱因斯坦定域性？
• RQ3 能否通过新位置算符的相对论波函数形式推导出海森堡不确定性原理？
• RQ4 负频率模在维持相对论性量子力学中因果性与概率守恒方面起什么作用？
• RQ5 如何将内积与概率密度重新表达为显式的洛伦兹不变且因果的形式？

主要发现

• 所提出的双线性位置算符是协变的、局域的，且在位置或动量空间中均不引入非局域项，其推广了薛定谔绘景中的位置算符。
• 通过结合负频率模与惠勒传播子，恢复了爱因斯坦定域性，确保波函数演化尊重光锥结构。
• 利用希尔伯特变换与哈达玛两点函数，推导出一种新概率密度，其为正定且洛伦兹不变，包含正负频率分量。
• 该框架可通过高阶矩算符从相对论波函数推导出海森堡不确定性关系，从而在量子场论中恢复了量子力学的核心原理。
• 波函数的时间演化由对易子两点函数（惠勒传播子）控制，而概率密度则由哈达玛函数定义，从而实现动力学与内积的解耦。
• 标准克莱因-戈登场归一化被推广以包含所有频率分量，得到洛伦兹不变的玻恩规则：$ P(k) = \frac{1}{2} \int dk_0 \delta(k^2 + m^2) |f(k)|^2 $。