[论文解读] Localization of quantum walks induced by recurrence properties of random walks

Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文建立了经典随机游走（RW）的遍历性与Szegedy型量子游走（QW）中局域化之间的直接联系。研究表明，局域化源于RW的ℓ²特征向量以及具有特征值±1的正交补子空间ℋ^(S)；特别是，当RW为正遍历时，将导致局域化，甚至单个自环也能在原本瞬时的RW中诱导局域化。

ABSTRACT

We study a quantum walk (QW) whose time evolution is induced by a random walk (RW) first introduced by Szegedy (2004). We focus on a relation between recurrent properties of the RW and localization of the corresponding QW. We find the following two fundamental derivations of localization of the QW. The first one is the set of all the $\ell^2$ summable eigenvectors of the corresponding RW. The second one is the orthogonal complement, whose eigenvalues are $\pm 1$, of the subspace induced by the RW. In particular, as a consequence, for an infinite half line, we show that localization of the QW can be ensured by the positive recurrence of the corresponding RWs, and also that the existence of only one self loop affects localization properties.

研究动机与目标

• 研究经典随机游走的遍历性与量子游走中局域化之间的关系。
• 识别量子游走表现出局域化的结构与谱条件。
• 分析正交补子空间ℋ^(S)在局域化中的作用，尤其是在无限图中。
• 确定自环如何影响无限半直线上量子游走的局域化行为。

提出的方法

• 分析Szegedy量子游走算符W = U²的特征系统，将希尔伯特空间分解为ℋ^(R)（由RW诱导）及其正交补ℋ^(S)。
• 识别ℋ^(S)的特征值为±1，其重数取决于RW的特征值和自环数量。
• 使用时间平均极限测度来定义局域化，当测度为正时即视为局域化，尤其在无限系统中标准分布未必存在时。
• 应用谱理论，将RW的ℓ²可和特征向量与QW中的局域化联系起来。
• 通过正遍历RW的平稳分布，推导出时间平均极限测度的下界。
• 评估自环对ℋ^(S)维数的影响，从而影响局域化，特别是在无限半直线图中。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典随机游走的遍历性如何影响相应量子游走中的局域化？
• RQ2 正交补子空间ℋ^(S)在决定无限图上量子游走局域化中的作用是什么？
• RQ3 即使底层随机游走是瞬时的，单个自环是否也能在量子游走中诱导局域化？
• RQ4 自环数量如何影响ℋ^(S)子空间的维数及由此产生的局域化行为？
• RQ5 在何种条件下，量子游走的时间平均极限测度保持为正，表明存在局域化？

主要发现

• 量子游走中的局域化本质上由相应经典随机游走的ℓ²可和特征向量驱动。
• 具有特征值±1的正交补子空间ℋ^(S)对局域化有显著贡献，尤其当初始态在该子空间上投影非零时。
• 对于无限半直线，若RW为正遍历，则即使不存在谱间隙，也能保证量子游走的局域化。
• 仅存在一个自环即可将原本无局域化的量子游走转变为具有局域化的游走，即使RW是瞬时的。
• 量子游走的时间平均极限测度有下界，其下界由正遍历RW的平稳分布给出，从而为局域化提供定量下界。
• 时间平均测度中缺失的值（1−c₀）与弹道传播相关，可通过涉及Konno密度函数的弱极限定理进行表征。