[论文解读] Localization of Vortex Partition Functions in $\mathcal{N}=(2,2) $ Super Yang-Mills theory

Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用 16

一句话总结

本文通过等变局部化方法，计算了具有 $N$ 个基础旋量多重态的 $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 超杨–米尔斯理论中的涡旋划分函数。通过质量项对 $\mathcal{N}=(4,4)$ 理论进行形变，并对 $Q$-精确作用量应用局部化，划分函数局域化为 $N$ 重一维整数分拆，从而得到以扭曲质量与等变参数表示的 K-理论表达式，阿贝尔情形下退化为与 $\mathbb{C}P^{N-1}$ Gromov-Witten 不变量相关的指数生成函数。

ABSTRACT

In this article, we study the localizaiton of the partition function of BPS vortices in $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ super Yang-Mills theory with $N$-flavor on $\R^2$. The vortex partition function for $\mathcal{N}=(2,2)$ super Yang-Mills theory is obtained from the one in $\mathcal{N}=(4,4)$ super Yang-Mills theory by mass deformation. We show that the partition function can be written as $Q$-exact form and integration in the partition functions is localized to the fixed points which are related to $N$-tuple one dimensional partitions of positive integers.

研究动机与目标

• 计算具有 $N$ 个基础旋量多重态的 $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 超杨–米尔斯理论中的涡旋划分函数。
• 将等变局部化方法扩展至二维 $\mathcal{N}=(2,2)$ 理论中的非阿贝尔涡旋模空间。
• 从描述涡旋模空间的凯勒商空间的等变特征出发，推导出 K-理论涡旋划分函数。
• 在大 $N_f$ 极限下，建立涡旋划分函数与 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ 的 $J$-函数之间的联系。

提出的方法

• 利用 $Q$-精确形变将路径积分局域化至涡旋模空间中的不动点。
• 通过质量形变与超势能的大质量极限，将 $\mathcal{N}=(4,4)$ 理论约化为 $\mathcal{N}=(2,2)$ 理论。
• 对具有 $N$ 个基础旋量多重态和扭曲质量的 $U(N)$ 规范理论应用等变局部化。
• 将涡旋模空间 $\mathcal{M}_{k,N}$ 的切空间特征计算为表示空间的商。
• 通过 $V$、$W$ 和 $Q$ 的特征推导出 K-理论划分函数，其中 $V$ 编码 $N$ 重分拆。
• 取 $\beta \to 0$ 极限，从 K-理论形式恢复共调性（场论）划分函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 $N$ 个基础味的 $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 超杨–米尔斯理论中，涡旋划分函数在等变局部化下的行为如何？
• RQ2 在存在扭曲质量的情况下，涡旋模空间 $\mathcal{M}_{k,N}$ 的结构是什么？其在 $U(1)^N$ 对称性下的分解方式如何？
• RQ3 能否从模空间的凯勒商构造的等变特征出发，推导出 K-理论涡旋划分函数？
• RQ4 划分函数的阿贝尔极限与 $\mathbb{C}P^{N-1}$ 的 $J$-函数有何关系？
• RQ5 非阿贝尔涡旋划分函数与大 $N_f$ 极限下格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ 的 $J$-函数之间存在何种关系？

主要发现

• 在 $\mathcal{N}=(2,2)$ $U(N)$ 理论中，涡旋划分函数局域化为由正整数的 $N$ 重一维分拆标记的不动点。
• K-理论涡旋划分函数为 $ Z^\text{K-theoretic} = \sum_{k=0}^\infty e^{2\pi(r+i\theta)k} \sum_{k_1+\cdots+k_N=k} \prod_{i,\tilde{i}=1}^N \prod_{l_i=1}^{a_i} \prod_{j_i=1}^{b_i} \frac{1}{(1 - Q_{\tilde{i}i} q^{k_{\tilde{i}}+1-l_i})(1 - Q_{\tilde{i}i} q^{1-j_i})} $，其中 $ a_i = \min(k_i, k_{\tilde{i}}) $，$ b_i = \max(k_i - k_{\tilde{i}}, 0) $。
• 在阿贝尔情形（$N=1$）下，划分函数退化为 $ Z = \exp\left( \frac{e^{2\pi(r+i\theta)}}{\epsilon} \right) $，与 $\mathbb{C}P^0$ Gromov-Witten 不变量的生成函数一致。
• 共调性极限（$\beta \to 0$）给出场论划分函数：$ Z = \sum_{k=0}^\infty e^{2\pi(r+i\theta)k} \sum_{k_1+\cdots+k_N=k} \prod_{i,\tilde{i}=1}^N \prod_{l_i=1}^{a_i} \prod_{j_i=1}^{b_i} \frac{1}{((k_{\tilde{i}}+1-l_i)\epsilon - m_{i\tilde{i}})((1-j_i)\epsilon - m_{i\tilde{i}})} $。
• 结果表明可通过 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ 的 $J$-函数推广至非阿贝尔涡旋，特别是在强耦合极限下，模空间变为到 $\mathrm{Gr}(N_c, N_f)$ 的全纯映射空间。
• 证明了具有 $N_f$ 个味的 $U(1)$ 理论的划分函数与 $\mathbb{C}P^{N_f-1}$ 的 $J$-函数相关，为生成函数提供了几何解释。