[论文解读] Localization transition in disordered pinning models. Effect of randomness on the critical properties

Fabio Lucio Toninelli|ArXiv.org|Mar 30, 2007

Theoretical and Computational Physics参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文研究了在存在 quenched disorder 的情况下，无序钉扎模型中的局域化相变，其中定向聚合物与一维缺陷线相互作用。利用更新过程理论、大偏差理论以及平均场自旋玻璃的技巧，本文严格证明：当尾部衰减指数 α < 1/2 时，无序是无关的，导致其临界指数与均匀情况相同；而当 α > 1/2 时，无序变得相关，非微扰地改变了临界行为。

ABSTRACT

These notes are devoted to the statistical mechanics of directed polymers interacting with one-dimensional spatial defects. We are interested in particular in the situation where frozen disorder is present. These polymer models undergo a localization/delocalization transition. There is a large (bio)-physics literature on the subject since these systems describe, for instance, the statistics of thermally created loops in DNA double strands and the interaction between (1+1)-dimensional interfaces and disordered walls. In these cases the transition corresponds, respectively, to the DNA denaturation transition and to the wetting transition. More abstractly, one may see these models as random and inhomogeneous perturbations of renewal processes. The last few years have witnessed a great progress in the mathematical understanding of the equilibrium properties of these systems. In particular, many rigorous results about the location of the critical point, about critical exponents and path properties of the polymer in the two thermodynamic phases (localized and delocalized) are now available. Here, we will focus on some aspects of this topic - in particular, on the non-perturbative effects of disorder. The mathematical tools employed range from renewal theory to large deviations and, interestingly, show tight connections with techniques developed recently in the mathematical study of mean field spin glasses.

研究动机与目标

• 理解 quenched disorder 如何影响钉扎模型的临界性质，特别是局域化/非局域化相变。
• 使用严格的数学方法，确定在何种条件下 disorder 对临界行为是无关或相关的。
• 分析更新测度的尾指数 α 在通过 Harris 准则确定 disorder 相关性中的作用。
• 在 quenched 与 annealed 设置下，建立关联长度与自由能的精确界限。
• 将无序钉扎模型的数学分析与平均场自旋玻璃技术联系起来，揭示其深层结构相似性。

提出的方法

• 将无序钉扎模型表述为在缺陷位点具有随机 i.i.d. 相互作用强度的更新过程的扰动。
• 将 annealed 自由能用作变分上界，并使用插值技巧比较 quenched 与 annealed 自由能。
• 采用复制耦合与大偏差估计，证明当 α < 1/2 时 disorder 的无关性，表明临界指数与均匀情况一致。
• 利用 Tauberian 定理，将更新测度的渐近行为与自由能及关联长度标度联系起来。
• 通过与 Bessel 过程的耦合论证，推导出 quenched 与平均关联函数的指数衰减界。
• 证明在 μ → 0 时，quenched 情况下的关联长度以 μ^{-1} 的阶衰减，衰减速率由自由能 F(β,h) 与无序强度控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，quenched disorder 对钉扎模型的临界行为是无关的？
• RQ2 更新测度的尾指数 α 如何通过 Harris 准则决定 disorder 的相关性？
• RQ3 在临界点附近，quenched 与 annealed 系统中的关联长度的精确标度是什么？
• RQ4 临界指数与自由能如何依赖于 disorder 的存在，特别是当 α > 1/2 时？
• RQ5 平均场自旋玻璃中的技术（如复制耦合）在多大程度上适用于无序钉扎模型？

主要发现

• 当 α < 1/2 时，disorder 是无关的：quenched 模型的临界点与临界指数与均匀模型一致。
• 当 α > 1/2 时，disorder 是相关的，并非微扰地改变了临界行为，导致不同的临界指数与修改后的相图。
• quenched 关联长度以至少 F(β,h)^{1+ε} 的速率指数衰减，其中 F(β,h) 为自由能，且预因子几乎必然有限。
• annealed 关联函数以至少 μ(β,h)^{1+ε} 的速率指数衰减，其中 μ(β,h) 为自由能，且预因子一致有界。
• quenched 情况下的关联长度为 μ^{-1} 阶，衰减速率由自由能与无序强度控制。
• 结果确认 Harris 准则的临界值 α_c = 1/2 为 disorder 相关性的精确阈值，并在 quenched 与平均设置下对关联衰减建立了严格界限。