[论文解读] Localization transition on the Random Regular Graph as an unstable tricritical point in a log-normal Rosenzweig-Porter random matrix ensemble

V. E. Kravtsov, Ivan M. Khaymovich+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2020

Quantum many-body systems参考文献 40被引用 55

一句话总结

简要结论：本文提出一种对数正态 Rosenzweig-Porter (LN-RP) 随机矩阵族，具有对称性参数 p，可在高斯 RP 与 Lévy 系列之间插值，确定在 p=1 时的三临界点，对应于在随机规则图上的安德森局部化，并显示多重分形相在此处塌缩，但对对数正态尾部截断不稳定。

ABSTRACT

Gaussian Rosenzweig-Porter (GRP) random matrix ensemble is the only one in which the robust multifractal phase and ergodic transition have a status of a mathematical theorem. Yet, this phase in GRP model is oversimplified: the spectrum of fractal dimensions is degenerate and the mini-band in the local spectrum is not multifractal. In this paper we suggest an extension of the GRP model by adopting a logarithmically-normal (LN) distribution of off-diagonal matrix elements. A family of such LN-RP models is parametrized by a symmetry parameter $p$ and it interpolates between the GRP at $p ightarrow 0$ and Levy ensembles at $p ightarrow\infty$. A special point $p=1$ is shown to be the simplest approximation to the Anderson localization model on a random regular graph.We study in detail the phase diagram of LN-RP model and show that $p=1$ is a tricritical point where the multifractal phase first collapses. This collapse is shown to be unstable with respect to the truncation of the log-normal distribution. We suggest a new criteria of stability of the non-ergodic phases and prove that the Anderson transition in LN-RP model is discontinuous at all $p>0$.

研究动机与目标

• 激发在随机正则图上研究安德森局部化，作为多体局部化的代理的动机。
• 用对角元素之外的对数正态分布扩展 Rosenzweig-Porter 模型，以更好地捕捉 RRG 的特征。
• 绘制 LN-RP 相图并定位多重分形塌缩的三临界点。
• 提出非遍历相稳定性的判据并评估遍历转变的鲁棒性。

提出的方法

• 定义 LN-RP 模型，带有对数正态分布的非对角矩阵元素和对称性参数 p。
• 通过有效的长程跳跃和厚尾跳跃分布，将 LN-RP 与 RRG 联系起来。
• 使用局部化（S1）和莫特遍历性（S2）判据，推导遍历、多重分形和局部化相的相界。
• 使用 KL1 和 KL2 的 Kullback-Leibler 散度来表征特征向量统计并定位跃迁。
• 进行有限尺寸缩放和数值计算，以提取临界点 gamma_ET 和 gamma_AT，以及指数 nu1、nu2。

实验结果

研究问题

• RQ1 LN-RP 的相图作为 p 和 gamma 的函数是什么？它如何在高斯 RP 与 Lévy 系列之间插值？
• RQ2 在 p=1 处是否存在三临界点？在这一点附近多重分形是稳定的还是不稳定的？
• RQ3 KL1 和 KL2 如何在 LN-RP 中检测遍历、局部化和多重分形相？
• RQ4 截断对数正态尾部在非遍历相稳定性中的作用？
• RQ5 LN-RP 中局部化和遍历转变的有限尺寸缩放性质及临界指数是什么？

主要发现

• LN-RP 模型呈现三相（遍历、多重分形、局部化），相变在 p=1 和 gamma=4 处合并形成三临界点。
• 多重分形相在 p=1 处塌缩，但对对数正态分布尾部的截断会使该塌缩变得不稳定。
• 遍历转变在 p>=1 时变得脆弱，且通过截断会被移位到更小的 gamma，重新引入多重分形相。
• KL1 对局部化转变敏感，KL2 对遍历转变敏感，观察到明确的有限尺寸缩放行为。
• 对于 p>1，数值和解析结果显示 gamma_ET 与 gamma_AT 的数值与推导表达式一致；指数 nu1 与 nu2 依赖于 p，在 p>=1 时趋向平均场值。
• 根据所提出的判据与分析，LN-RP 上的安德森转变在所有 p>0 时都是不连续的。