[论文解读] Localizations and completions in motivic homotopy theory

LG Mantovani|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 15

一句话总结

本文在完美域上的动机同伦论中确立了：在合理的 $E$ 和 $X$ 条件下，谱的 $E$-同调局部化与 $E$-幂零完备化一致，推广了经典稳定同伦论中的经典结果。该等价性通过交换代数中的形式完备化或局部化来表达，为基于 $E$ 的动机 Adams-Novikov 族谱序列提供了收敛性准则。

ABSTRACT

Let $K$ be a perfect field and let $E$ be a homotopy commutative ring spectrum in the Morel-Voevodsky stable motivic homotopy category $\mathcal{SH}(K)$. In this work we investigate the relation between the $E$-homology localization and $E$-nilpotent completion of a spectrum X. Under reasonable assumptions on $E$ and $X$ we show that these two operations coincide and can be expressed in terms of formal completions or localizations in the usual sense of commutative algebra. We deduce convergence criteria for the $E$-based motivic Adams-Novikov spectral sequence.

研究动机与目标

• 澄清动机稳定同伦范畴 $\mathcal{SH}(K)$ 中 $E$-同调局部化与 $E$-幂零完备化之间的关系。
• 将经典同伦论中的经典结果推广到完美域 $K$ 上的动机设定中。
• 通过交换代数中的形式完备化与局部化，提供这些构造的代数描述。
• 为基于 $E$ 的动机 Adams-Novikov 族谱序列建立收敛性准则。
• 将 Adams-Bousfield 局部化与完备化之间的等价性推广到动机情境中。

提出的方法

• 使用完美域 $K$ 上的 Morel-Voevodsky 稳定动机同伦范畴 $\mathcal{SH}(K)$。
• 应用 pro-塔与 pro-同构的理论来分析谱的极限。
• 利用 Postnikov 塔投影将同伦模与同伦模关联，建立 pro-弱同构。
• 利用连通谱在某一位移后诱导同伦模上的同构这一事实，比较塔结构。
• 使用分式法则在 $\mathcal{SH}(K)$ 中将 $E$-局部化定义为局部化函子。
• 依赖于通过 pro-塔技术与同伦模分析，将 $E$-幂零完备化与 $E$-同调局部化等价化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，动机同伦论中的 $E$-同调局部化与 $E$-幂零完备化一致？
• RQ2 能否证明基于 $E$ 的动机 Adams-Novikov 族谱序列收敛于一个具有代数描述的谱？
• RQ3 在 $\mathcal{SH}(K)$ 中，经典 Adams-Bousfield 结果的动机类比在多大程度上可以建立？
• RQ4 在 $\mathcal{SH}(K)$ 中，pro-塔与 pro-同构如何促进局部化与完备化之间的比较？
• RQ5 连通谱与 Postnikov 截断在建立谱序列的 pro-弱同构中起什么作用？

主要发现

• 在 $\mathcal{SH}(K)$ 中，谱 $X$ 的 $E$-同调局部化与 $E$-幂零完备化在对 $E$ 和 $X$ 的合理假设下是等价的。
• 该等价性以交换代数中形式完备化或局部化的意义实现，推广了经典结果。
• 基于 $E$ 的动机 Adams-Novikov 族谱序列条件收敛于 $X$ 的 $E$-幂零完备化，而该完备化现已被显式描述。
• $\mathcal{SH}(K)$ 中 pro-塔的 pro-同构可通过重新索引与涉及向较低指标映射的交换图表来刻画。
• 从塔到其 Postnikov 塔的投影诱导出一个 pro-弱同构，且当对连通 $E$ 应用 $E\wedge -$ 后，该性质依然成立。
• 当且仅当其同伦模为零的 pro-同构时，塔是 pro-可缩的，这在 pro-范畴中刻画了平凡性。