[论文解读] Localizations of (one-sided) exact categories

Ruben Henrard, Adam-Christiaan van Roosmalen|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 11

一句话总结

本论文通过渗透子范畴引入了一种两步定位构造，适用于单边精确范畴与精确范畴，实现了对先前理论的推广。证明了商范畴满足2-普遍性质，并建立了在何种条件下定位可诱导有界导出范畴上的Verdier定位。

ABSTRACT

In this paper, we introduce quotients of exact categories by percolating subcategories. This approach extends earlier localization theories by Cardenas and Schlichting for exact categories, allowing new examples. Let $\mathcal{A}$ be a percolating subcategory of an exact category $\mathcal{E}$, the quotient $\mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ is constructed in two steps. In the first step, we associate a set $S_\mathcal{A} \subseteq \operatorname{Mor}(\mathcal{E})$ to $\mathcal{A}$ and consider the localization $\mathcal{E}[S^{-1}_\mathcal{A}]$. In general, $\mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}]$ need not be an exact category, but will be a one-sided exact category. In the second step, we take the exact hull $\mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ of $\mathcal{E}[S_\mathcal{E}^{-1}]$. The composition $\mathcal{E} ightarrow \mathcal{E}[S_\mathcal{A}^{-1}] ightarrow \mathcal{E} {/\mkern-6mu/} \mathcal{A}$ satisfies the 2-universal property of a quotient in the 2-category of exact categories. We formulate our results in slightly more generality, allowing to start from a one-sided exact category. Additionally, we consider a type of percolating subcategories which guarantee that the morphisms of the set $S_\mathcal{A}$ are admissible. In upcoming work, we show that these localizations induce Verdier localizations on the level of the bounded derived category.

研究动机与目标

• 通过引入允许超出Serre子范畴或厚子范畴的新例子的渗透子范畴，推广现有精确范畴的定位理论。
• 通过构建适用于LCA（局部紧阿贝尔群）和glider表示等范畴的商，解决先前框架（如Cardenas和Schlichting的框架）的局限性。
• 通过两步过程定义商范畴：首先对与子范畴相关的态射集进行定位，然后取精确包以确保精确性。
• 证明所得商范畴在精确范畴的2-范畴中满足2-普遍性质，推广了阿贝尔或三角范畴商的普遍性质。
• 建立定位保持同调性质的条件，特别是通过“可接受渗透子范畴”的概念。

提出的方法

• 将精确范畴 E 的全子范畴 A 定义为渗透子范畴，若其满足公理 P1–P4，这些公理推广了Serre子范畴的行为。
• 关联一个乘法集 S_A ⊆ Mor(E)，其元素为余核属于 A 的膨胀态射，或核属于 A 的收缩态射。
• 将局部化 E[S_A^{-1}] 构造为一个单边精确范畴（具体而言，为收缩-精确或膨胀-精确范畴），其不一定是精确范畴。
• 构造 E[S_A^{-1}] 的精确包 E//A，以获得真正的精确范畴，确保商函子 Q: E → E//A 是精确的。
• 利用2-普遍性质证明，Q 可普遍地因式分解那些将 A 映为零的精确函子，推广了阿贝尔与三角范畴中的商构造。
• 引入“可接受渗透子范畴”的概念，以确保 S_A 中的态射是可接受的（即属于正合列），从而增强同调控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何推广精确范畴的定位理论，以包含不满足先前公理的示例，如 LCA 和 glider 表示？
• RQ2 在何种条件下，从子范畴导出的态射集所进行的一边精确范畴的定位仍保持良好的同调行为？
• RQ3 两步构造（先定位后取精确包）在何种意义上产生一个在精确范畴2-范畴中满足2-普遍性质的商？
• RQ4 在何种条件下，S_A 中的态射成为可接受的？这如何影响导出范畴的结构？
• RQ5 这些定位与有界导出范畴上的Verdier定位有何关系？

主要发现

• 将 E//A 构造为 E[S_A^{-1}] 的精确包，确保了商函子 Q: E → E//A 在精确范畴的2-范畴中满足2-普遍性质。
• 局部化 E[S_A^{-1}] 是一个单边精确范畴（收缩-精确或膨胀-精确范畴），但不一定是精确范畴，表明一般情况下定位与精确性不交换。
• 对于可接受渗透子范畴，S_A 中的态射是可接受的，且 S_A-同构的右乘法系统是饱和的。
• 局部化 E//A 在有界导出范畴 D^b(E) 上诱导出一个Verdier局部化，推广了三角范畴中的已知结果。
• Z[t]-模范畴 E 的例子（其中对象形如 k ⊕ kt ⊕ kt^2）表明，E//A 不是膨胀-精确范畴，因为由于某个复合态射的余核的核不是同构的，公理 L1 失效。
• 在此例中，复合态射的余核的核同构于 kt ⊕ kt^2，而非 tRe_2，表明该复合态射在 E//A 中无法提升为膨胀态射。